Trigonometrie einfach erklärt: Sinus, Kosinus und Tangens

Wie hoch ist ein Baum, wenn man seinen Schatten und den Sonnenstand kennt? Wie steil ist eine Rampe mit 8 % Steigung wirklich? Wie lang muss eine Leiter sein, die in 4 m Höhe anlegen soll? Solche Fragen löst die Trigonometrie mit drei Funktionen: Sinus, Kosinus und Tangens.

Dieser Artikel erklärt die Begriffe am rechtwinkligen Dreieck, die Definitionen von Sinus, Kosinus und Tangens, wie Sie Seiten und Winkel berechnen, die Merkregel „GAGA HHAG“ und typische Anwendungen.

Direkt ausrechnen: Dreieck-Rechner: Seiten, Winkel und Fläche berechnen

Begriffe am rechtwinkligen Dreieck

In einem rechtwinkligen Dreieck liegt der rechte Winkel (90°) gegenüber der längsten Seite, der Hypotenuse. Die beiden anderen Seiten heißen Katheten. Von einem spitzen Winkel α aus gesehen gibt es:

die Gegenkathete: die Kathete gegenüber von α,
die Ankathete: die Kathete, die an α anliegt.

Welche Kathete Gegen- und welche Ankathete ist, hängt also vom betrachteten Winkel ab. Für die Hypotenuse gilt zusätzlich der Satz des Pythagoras.

Rechtwinkliges Dreieck mit Winkel Alpha: Hypotenuse gegenüber dem rechten Winkel, Gegenkathete gegenüber von Alpha, Ankathete am Winkel Alpha. — Hypotenuse, Gegenkathete und Ankathete am Winkel α.

Sinus, Kosinus und Tangens

sin α = Gegenkathete / Hypotenuse
cos α = Ankathete / Hypotenuse
tan α = Gegenkathete / Ankathete

Merkregel „GAGA HHAG“ (Eselsbrücke „GAGA-Hühnerhof-AG“): Gegen-, An-, Gegen-, Ankathete über Hypotenuse, Hypotenuse, Ankathete, Gegenkathete, also sin = G/H, cos = A/H, tan = G/A und der Kotangens cot = A/G.

Wichtige Werte: sin 30° = 0,5, cos 60° = 0,5, tan 45° = 1, sin 90° = 1, cos 0° = 1. Außerdem gilt tan α = sin α / cos α und sin²α + cos²α = 1.

Eine Seite berechnen

Beispiel: Eine Leiter ist 5 m lang und steht im Winkel von 70° zum Boden. Wie hoch reicht sie?

Gesucht: Höhe = Gegenkathete zum 70°-Winkel. Gegeben: Leiter = Hypotenuse.
Passende Funktion: sin (Gegenkathete und Hypotenuse).
sin 70° = h / 5 ⇒ h = 5 · sin 70° ≈ 5 · 0,940 = 4,70 m.

Stellen Sie den Taschenrechner auf Grad (DEG), nicht auf Bogenmaß (RAD).

Eine 5 Meter lange Leiter lehnt im Winkel von 70 Grad an einer Wand und erreicht eine Höhe von etwa 4,70 Meter, daneben die Rechnung mit dem Sinus. — Leiterbeispiel: h = 5 · sin 70° ≈ 4,70 m.

Einen Winkel berechnen

Kennen Sie zwei Seiten, berechnen Sie den Winkel mit der Umkehrfunktion (sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹, auf dem Taschenrechner meist mit „Shift“):

Eine Rampe steigt auf 4 m Länge (waagerecht) um 0,32 m an. tan α = 0,32 / 4 = 0,08 ⇒ α = tan⁻¹(0,08) ≈ 4,6°. Eine Steigung von 8 % entspricht also nur einem Winkel von 4,6°: Prozentangaben bei Steigungen sind der Tangens mal 100, nicht der Winkel.

Beliebige Dreiecke

Für Dreiecke ohne rechten Winkel gibt es den Sinussatz und den Kosinussatz. Wie man damit alle Seiten und Winkel berechnet, zeigt der Artikel Dreieck berechnen mit Rechner.

Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Am Kreis mit Radius 1 lassen sich Sinus und Kosinus für jeden Winkel definieren: Ein Punkt auf dem Kreis zum Winkel α hat die Koordinaten (cos α | sin α). Dreht sich der Punkt einmal ganz herum, durchlaufen Sinus und Kosinus eine Welle. Deshalb beschreiben Sinusfunktionen alle Schwingungen: Wechselstrom (siehe Transformator), Schall, Pendel und Lichtwellen. Mehr zum Kreis im Artikel Kreis berechnen.

Einheitskreis mit Radius 1, ein Punkt P beim Winkel Alpha; seine x-Koordinate ist der Kosinus, seine y-Koordinate der Sinus. — Am Einheitskreis sind cos α und sin α die Koordinaten des Punktes P.

Anwendungen

Vermessung: Höhen von Gebäuden, Bäumen und Bergen aus Entfernung und Blickwinkel.
Bau und Handwerk: Dachneigung, Treppen, Rampen, Sparrenlängen.
Navigation: GPS, Kursberechnung, Satellitenpositionen.
Physik: Kräfte auf der schiefen Ebene zerlegen, Schwingungen und Wellen.
Computergrafik: Drehungen und Kamerawinkel in Spielen.

Übungsaufgaben mit Lösungen

Aufgabe 1 (leicht): In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse 10 cm lang, α = 30°. Wie lang ist die Gegenkathete von α?

Lösung anzeigen

sin 30° = a / 10 ⇒ a = 10 · 0,5 = 5 cm.

Aufgabe 2 (mittel): Ein Baum wirft einen 12 m langen Schatten, die Sonne steht 35° über dem Horizont. Wie hoch ist der Baum?

Lösung anzeigen

tan 35° = h / 12 ⇒ h = 12 · tan 35° ≈ 12 · 0,700 = 8,4 m.

Aufgabe 3 (Winkel): Ein Dach hat eine waagerechte halbe Breite von 4,5 m und eine Firsthöhe von 3 m über der Traufe. Wie groß ist die Dachneigung?

Lösung anzeigen

tan α = 3 / 4,5 ≈ 0,667 ⇒ α ≈ 33,7°.

Fazit

Im rechtwinkligen Dreieck verbinden Sinus, Kosinus und Tangens Winkel und Seitenverhältnisse: sin = Gegenkathete/Hypotenuse, cos = Ankathete/Hypotenuse, tan = Gegenkathete/Ankathete. Wählen Sie die Funktion, die die gegebenen und gesuchten Seiten enthält, und nutzen Sie für Winkel die Umkehrfunktionen im Grad-Modus. Am Einheitskreis werden Sinus und Kosinus zu den Funktionen aller Schwingungen. Weitere Themen finden Sie in der Übersicht Mathematik einfach erklärt.