Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: Formeln, Bremsweg und freier Fall

Ein Auto beschleunigt an der Ampel, ein Apfel fällt vom Baum, ein Zug bremst vor dem Bahnhof: In all diesen Fällen ändert sich die Geschwindigkeit gleichmäßig. Physikerinnen und Physiker sprechen von einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Mit drei Formeln lassen sich Geschwindigkeit, Weg und Zeit berechnen, und damit zum Beispiel auch, warum der Bremsweg bei doppelter Geschwindigkeit viermal so lang wird.

Dieser Artikel erklärt die Begriffe Geschwindigkeit und Beschleunigung, die Bewegungsgesetze, den freien Fall, das Bremsen und die zugehörigen Diagramme.

Direkt ausrechnen: Bremsweg-Rechner: Reaktionsweg, Bremsweg und Anhalteweg

Geschwindigkeit und Beschleunigung

Geschwindigkeit v: zurückgelegter Weg pro Zeit, v = s / t, gemessen in m/s oder km/h. Umrechnung: 1 m/s = 3,6 km/h.
Beschleunigung a: Änderung der Geschwindigkeit pro Zeit, a = Δv / Δt, gemessen in m/s². Eine Beschleunigung von 2 m/s² bedeutet: Jede Sekunde wird man 2 m/s schneller.

Bei einer gleichförmigen Bewegung ist die Geschwindigkeit konstant (a = 0). Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist die Beschleunigung konstant.

Die Bewegungsgesetze

Für eine Bewegung aus dem Stand mit konstanter Beschleunigung a gilt:

Geschwindigkeit: v = a · t
Weg: s = ½ · a · t²
Ohne Zeit: v² = 2 · a · s

Mit Anfangsgeschwindigkeit v₀ lauten die Gesetze v = v₀ + a · t und s = v₀ · t + ½ · a · t².

Beispiel: Ein Auto beschleunigt mit a = 3 m/s² aus dem Stand. Nach 5 s hat es v = 3 · 5 = 15 m/s = 54 km/h erreicht und s = ½ · 3 · 25 = 37,5 m zurückgelegt.

Woher die Beschleunigung kommt, beschreibt das 2. newtonsche Gesetz: F = m · a.

Die Diagramme

a-t-Diagramm: eine waagerechte Linie, die Beschleunigung ist konstant.
v-t-Diagramm: eine Gerade durch den Ursprung mit der Steigung a. Die Fläche unter der Geraden ist der zurückgelegte Weg.
s-t-Diagramm: eine Parabel, der Weg wächst mit dem Quadrat der Zeit; siehe quadratische Funktionen.

Mathematisch ist die Geschwindigkeit die Ableitung des Wegs nach der Zeit, die Beschleunigung die Ableitung der Geschwindigkeit, und der Weg das Integral der Geschwindigkeit.

Zwei Diagramme für a gleich 3 Meter pro Sekunde zum Quadrat: Geschwindigkeit als Gerade bis 15 Meter pro Sekunde, Weg als Parabel bis 37,5 Meter nach 5 Sekunden. — Im v-t-Diagramm eine Gerade, im s-t-Diagramm eine Parabel.

Der freie Fall

Ohne Luftwiderstand fallen alle Körper gleich schnell, mit der Fallbeschleunigung g ≈ 9,81 m/s² in Mitteleuropa. Es gelten dieselben Gesetze mit a = g:

Nach 2 s: v = 9,81 · 2 ≈ 19,6 m/s ≈ 71 km/h, s = ½ · 9,81 · 4 ≈ 19,6 m.
Fallhöhe aus der Zeit: Ein Stein braucht 3 s bis zum Wasser ⇒ h = ½ · 9,81 · 9 ≈ 44 m (ohne Luftwiderstand und Schalllaufzeit).

In der Realität bremst die Luft, besonders bei leichten Körpern mit großer Fläche. Fallschirmspringer erreichen deshalb eine Endgeschwindigkeit von etwa 200 km/h. Energetisch betrachtet wandelt sich Lageenergie in Bewegungsenergie um; siehe Energieerhaltung.

Tabelle des freien Falls nach 1 bis 4 Sekunden: Geschwindigkeit von 9,8 bis 39,2 Meter pro Sekunde, Fallweg von 4,9 bis 78,5 Meter. — Freier Fall: Geschwindigkeit und Fallweg nach 1 bis 4 Sekunden.

Bremsen: verzögerte Bewegung

Beim Bremsen ist die Beschleunigung negativ (Verzögerung). Aus v² = 2 · a · s folgt der Bremsweg:

s = v² / (2 · a)

Beispiel: Bei 50 km/h (13,9 m/s) und einer Vollbremsung mit 8 m/s² beträgt der Bremsweg 13,9² / 16 ≈ 12 m. Bei 100 km/h (27,8 m/s) sind es 27,8² / 16 ≈ 48 m, also viermal so viel. Dazu kommt der Reaktionsweg: In einer Sekunde Reaktionszeit fährt man bei 100 km/h ungebremst knapp 28 m.

Moderne Assistenzsysteme verkürzen die Reaktionszeit; siehe ACC und Notbremsassistent und ABS.

Gestapelte Balken aus Reaktionsweg und Bremsweg: bei 30 km/h etwa 12,7 Meter, bei 50 km/h etwa 26 Meter, bei 100 km/h etwa 76 Meter. — Anhalteweg bei 1 s Reaktionszeit und einer Vollbremsung mit 8 m/s².

Typische Fehler

km/h nicht in m/s umgerechnet (durch 3,6 teilen).
Das ½ in s = ½ · a · t² vergessen.
Formeln für die Bewegung aus dem Stand bei einer Anfangsgeschwindigkeit verwendet.
Beim Bremsen das Vorzeichen der Beschleunigung nicht beachtet.

Übungsaufgaben mit Lösungen

Aufgabe 1 (leicht): Ein Motorrad beschleunigt in 4 s von 0 auf 100 km/h. Wie groß ist die mittlere Beschleunigung?

Lösung anzeigen

100 km/h = 27,8 m/s. a = 27,8 / 4 ≈ 6,9 m/s².

Aufgabe 2 (mittel): Ein Gegenstand fällt 2,5 s lang frei. Aus welcher Höhe fiel er, und wie schnell ist er am Ende?

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h = ½ · 9,81 · 2,5² ≈ 30,7 m, v = 9,81 · 2,5 ≈ 24,5 m/s (88 km/h).

Aufgabe 3 (Bremsweg): Ein Auto fährt 70 km/h und bremst mit 7 m/s². Wie lang sind Bremsweg und Anhalteweg bei 1 s Reaktionszeit?

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v = 19,4 m/s. Bremsweg 19,4² / 14 ≈ 26,9 m, Reaktionsweg 19,4 m, Anhalteweg ≈ 46,3 m.

Selbst nachrechnen

Geben Sie eigene Werte ein: Der Rechner zeigt jeden Schritt, so können Sie auch Ihre Lösungen der Übungsaufgaben prüfen.

Fazit

Bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist die Beschleunigung konstant. Aus dem Stand gilt v = a · t, s = ½ · a · t² und v² = 2 · a · s. Der freie Fall ist ein Spezialfall mit g ≈ 9,81 m/s², das Bremsen eine negative Beschleunigung, bei der der Bremsweg mit dem Quadrat der Geschwindigkeit wächst. Weitere Grundlagen finden Sie in der Übersicht Physik einfach erklärt.