Mit diesem Rechner lösen Sie jede quadratische Gleichung der Form a·x² + b·x + c = 0. Er bringt die Gleichung in die Normalform, berechnet die Diskriminante und zeigt alle Schritte der p-q-Formel bis zur Lösung, inklusive Probe.

So funktioniert die p-q-Formel

Die p-q-Formel gilt für die Normalform x² + p·x + q = 0, also wenn vor dem x² eine 1 steht. Steht dort eine andere Zahl a, teilt man die ganze Gleichung zuerst durch a. Dann gilt:

x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)

Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante D. Sie entscheidet, wie viele Lösungen es gibt:

• D > 0: zwei verschiedene Lösungen, die Parabel schneidet die x-Achse zweimal.
• D = 0: genau eine Lösung, die Parabel berührt die x-Achse nur.
• D < 0: keine reelle Lösung, die Parabel liegt ganz über oder unter der x-Achse.

Beispiel

x² − 2x − 8 = 0, also p = −2 und q = −8. Die Diskriminante ist (−1)² − (−8) = 1 + 8 = 9, die Wurzel daraus 3. Damit ist x₁ = 1 + 3 = 4 und x₂ = 1 − 3 = −2. Die Probe mit x = 4: 16 − 8 − 8 = 0.

Genau dieses Beispiel ist im Rechner voreingestellt. Ändern Sie die Werte, um eigene Aufgaben zu lösen.

p-q-Formel oder Mitternachtsformel?

Beide Formeln liefern dieselben Lösungen. Die Mitternachtsformel (abc-Formel) x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) spart das Teilen durch a, die p-q-Formel ist mit kleinen Zahlen oft schneller. Beide Wege, ihre Herleitung und typische Fehler erklärt der Artikel Quadratische Gleichungen: p-q-Formel und Mitternachtsformel. Weitere Mathematik-Grundlagen finden Sie in Mathematik einfach erklärt.