Integralrechnung einfach erklärt: Stammfunktion und Fläche

Die Integralrechnung ist das Gegenstück zur Ableitung. Während die Ableitung fragt, wie schnell sich eine Größe ändert, fragt das Integral, wie viel sich insgesamt aufsummiert: Aus der Geschwindigkeit wird der zurückgelegte Weg, aus der Leistung die verbrauchte Energie, aus einer Kurve die Fläche darunter.

Dieser Artikel erklärt Stammfunktionen und das unbestimmte Integral, die wichtigsten Integrationsregeln, das bestimmte Integral mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und wie man Flächen zwischen Kurve und x-Achse berechnet.

Die Idee: Flächen aus Streifen

Wie groß ist die Fläche unter der Parabel f(x) = x² zwischen x = 0 und x = 2? Man kann sie annähern, indem man sie in schmale Rechtecke zerlegt und deren Flächen addiert. Je schmaler die Streifen, desto genauer das Ergebnis. Der Grenzwert dieser Summe für unendlich schmale Streifen ist das bestimmte Integral:

∫₀² x² dx („Integral von 0 bis 2 über x² dx“)

Zum Glück muss man diesen Grenzwert nicht jedes Mal ausrechnen. Es gibt einen viel einfacheren Weg über die Stammfunktion.

Graph der Parabel x Quadrat zwischen 0 und 2 mit acht Rechteckstreifen; die Streifensumme ist etwa 3,19, das Integral 8/3, etwa 2,67. — Je schmaler die Streifen, desto genauer nähern sie die Fläche an.

Stammfunktion und unbestimmtes Integral

Eine Funktion F heißt Stammfunktion von f, wenn F'(x) = f(x) gilt. Integrieren ist also Ableiten rückwärts. Wie man ableitet, erklärt der Artikel Ableitung einfach erklärt.

Beispiel: F(x) = x³/3 ist eine Stammfunktion von f(x) = x², denn (x³/3)‘ = 3x²/3 = x². Aber auch x³/3 + 5 oder x³/3 − 2 sind Stammfunktionen, weil Konstanten beim Ableiten wegfallen. Deshalb schreibt man das unbestimmte Integral mit einer Integrationskonstante C:

∫ x² dx = x³/3 + C

Die wichtigsten Integrationsregeln

Potenzregel: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C für n ≠ −1. Der Exponent wird um eins größer, und man teilt durch den neuen Exponenten. Beispiel: ∫ x⁴ dx = x⁵/5 + C.
Konstanten: ∫ 7 dx = 7x + C.
Faktorregel: Ein konstanter Faktor bleibt stehen: ∫ 6x² dx = 6 · x³/3 = 2x³ + C.
Summenregel: Summen werden gliedweise integriert: ∫ (3x² + 4x − 1) dx = x³ + 2x² − x + C.
Weitere Grundintegrale: ∫ 1/x dx = ln|x| + C, ∫ eˣ dx = eˣ + C, ∫ sin x dx = −cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C.

Für Potenzen mit negativen oder gebrochenen Exponenten helfen die Potenzgesetze: ∫ √x dx = ∫ x^½ dx = x^(3/2) / (3/2) = ⅔ · x^(3/2) + C.

Der Hauptsatz: bestimmte Integrale berechnen

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verbindet Fläche und Stammfunktion:

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)

Man bestimmt eine Stammfunktion, setzt die obere und die untere Grenze ein und zieht ab. Die Konstante C fällt dabei weg. Für das Beispiel von oben:

∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 2³/3 − 0³/3 = 8/3 ≈ 2,67 Flächeneinheiten.

Vier Schritte des Hauptsatzes am Beispiel x Quadrat von 0 bis 2: Stammfunktion x hoch 3 durch 3, F von 2 gleich 8/3, F von 0 gleich 0, Differenz 8/3. — Bestimmtes Integral = F(b) − F(a).

Flächen unter und über der x-Achse

Das bestimmte Integral zählt Flächen oberhalb der x-Achse positiv und Flächen unterhalb negativ. Für f(x) = x zwischen −1 und 1 ergibt das Integral 0, obwohl zwei Dreiecke mit je 0,5 Flächeneinheiten entstehen.

Für die tatsächliche Fläche geht man so vor:

Nullstellen von f im Intervall bestimmen.
Das Intervall an den Nullstellen in Teilintervalle zerlegen.
Jedes Teilintegral einzeln berechnen und die Beträge addieren.

Beispiel: Fläche zwischen f(x) = x² − 4 und der x-Achse. Nullstellen bei x = −2 und x = 2 (eine Gleichung wie x² − 4 = 0 löst man wie bei den quadratischen Gleichungen). ∫₋₂² (x² − 4) dx = [x³/3 − 4x]₋₂² = (8/3 − 8) − (−8/3 + 8) = −32/3. Die Fläche liegt unter der Achse, ihr Inhalt ist 32/3 ≈ 10,67 Flächeneinheiten.

Parabel f von x gleich x Quadrat minus 4 mit der Fläche zwischen minus 2 und 2 unterhalb der x-Achse; das Integral ist minus 32/3, der Flächeninhalt 32/3. — Flächen unter der x-Achse ergeben ein negatives Integral.

Fläche zwischen zwei Kurven

Liegt f im Intervall über g, ist die Fläche dazwischen ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx. Die Grenzen sind oft die Schnittpunkte der beiden Graphen, die man durch Gleichsetzen findet. Beispiel: f(x) = x und g(x) = x² schneiden sich bei 0 und 1. Die Fläche ist ∫₀¹ (x − x²) dx = 1/2 − 1/3 = 1/6.

Integrale in Physik und Technik

Weg aus Geschwindigkeit: s = ∫ v(t) dt. Bei konstanter Beschleunigung a aus dem Stand gilt v = a · t und damit s = ½ · a · t².
Energie aus Leistung: E = ∫ P(t) dt. Bei konstanter Leistung ist das einfach E = P · t, etwa 2 kW eine Stunde lang gleich 2 kWh, siehe Elektrische Leistung.
Arbeit gegen eine Kraft: W = ∫ F(s) ds, etwa beim Spannen einer Feder mit F = D · s: W = ½ · D · s².

Übungsaufgaben mit Lösungen

Aufgabe 1 (leicht): Bestimmen Sie ∫ (4x³ − 6x + 2) dx.

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Gliedweise mit der Potenzregel: x⁴ − 3x² + 2x + C. Probe durch Ableiten: 4x³ − 6x + 2 ✓

Aufgabe 2 (mittel): Berechnen Sie ∫₁³ (2x + 1) dx.

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Stammfunktion F(x) = x² + x. F(3) − F(1) = (9 + 3) − (1 + 1) = 10.

Aufgabe 3 (Fläche): Berechnen Sie die Fläche, die der Graph von f(x) = −x² + 4x mit der x-Achse einschließt.

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Nullstellen: −x² + 4x = x · (4 − x) = 0 ⇒ x = 0 und x = 4. Dazwischen liegt der Graph oberhalb der Achse. ∫₀⁴ (−x² + 4x) dx = [−x³/3 + 2x²]₀⁴ = −64/3 + 32 = 32/3 ≈ 10,67 Flächeneinheiten.

Fazit

Integrieren ist Ableiten rückwärts: Eine Stammfunktion F erfüllt F‘ = f, das unbestimmte Integral enthält eine Konstante C. Mit der Potenzregel ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) lassen sich alle Polynome integrieren. Das bestimmte Integral berechnet man mit dem Hauptsatz als F(b) − F(a). Flächen unter der x-Achse zählen negativ, deshalb teilt man bei Flächenberechnungen an den Nullstellen. Weitere Themen finden Sie in der Übersicht Mathematik einfach erklärt.