Lineare Funktionen einfach erklärt: Steigung, y = mx + b

Lineare Funktionen sind die einfachsten Funktionen überhaupt, und doch stecken sie überall: in Handytarifen mit Grundgebühr, in Taxipreisen, im gleichmäßigen Füllen eines Tanks oder in der Umrechnung von Celsius in Fahrenheit. Ihr Graph ist immer eine Gerade, und mit nur zwei Zahlen, Steigung und y-Achsenabschnitt, ist sie vollständig beschrieben.

Dieser Artikel erklärt die Funktionsgleichung y = m · x + b, zeigt, wie man die Steigung berechnet, eine Gerade zeichnet, die Gleichung aus zwei Punkten aufstellt und Nullstellen und Schnittpunkte bestimmt.

Die Funktionsgleichung y = m · x + b

Eine lineare Funktion hat die Form f(x) = m · x + b.

m ist die Steigung: Sie gibt an, um wie viel y wächst, wenn x um 1 zunimmt. Bei m > 0 steigt die Gerade, bei m < 0 fällt sie, bei m = 0 verläuft sie waagerecht.
b ist der y-Achsenabschnitt: der Wert bei x = 0, also der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet.

Ist b = 0, geht die Gerade durch den Ursprung. Dann spricht man von einer proportionalen Funktion y = m · x, wie beim proportionalen Dreisatz.

Die Steigung berechnen

Kennt man zwei Punkte P₁(x₁ | y₁) und P₂(x₂ | y₂) auf der Geraden, gilt:

m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) („Höhenunterschied durch Längenunterschied“)

Beispiel: P₁(1 | 3) und P₂(4 | 9). m = (9 − 3) / (4 − 1) = 6 / 3 = 2. Geht man eine Einheit nach rechts, geht es zwei Einheiten nach oben. Dieses kleine Dreieck aus „1 nach rechts, m nach oben“ heißt Steigungsdreieck.

Graph der Geraden f von x gleich 2x plus 1 mit Steigungsdreieck (1 nach rechts, 2 nach oben), y-Achsenabschnitt 1 und Nullstelle bei minus 0,5. — Die Gerade f(x) = 2x + 1 mit Steigungsdreieck, y-Achsenabschnitt und Nullstelle.

Eine Gerade zeichnen

Den y-Achsenabschnitt b auf der y-Achse markieren.
Vom Punkt (0 | b) aus das Steigungsdreieck abtragen: bei m = 2 eine Einheit nach rechts und zwei nach oben, bei m = −1/2 zwei Einheiten nach rechts und eine nach unten.
Die beiden Punkte mit dem Lineal verbinden und die Gerade verlängern.

Ein Bruch als Steigung ist praktisch: Bei m = 3/4 geht man vier Einheiten nach rechts und drei nach oben. Mehr zu Brüchen steht im Artikel Bruchrechnung einfach erklärt.

Drei kleine Graphen: eine steigende Gerade mit positiver Steigung, eine fallende mit negativer Steigung und eine waagerechte mit Steigung null. — Das Vorzeichen der Steigung entscheidet, ob die Gerade steigt oder fällt.

Die Gleichung aus zwei Punkten aufstellen

Steigung berechnen: Für P₁(1 | 3) und P₂(4 | 9) ist m = 2.
Einen Punkt in y = m · x + b einsetzen: 3 = 2 · 1 + b.
Nach b auflösen: b = 1.
Ergebnis: f(x) = 2x + 1. Probe mit P₂: 2 · 4 + 1 = 9 ✓

Nullstelle berechnen

An der Nullstelle schneidet die Gerade die x-Achse, dort ist f(x) = 0. Man setzt die Funktionsgleichung gleich 0 und löst nach x auf:

0 = 2x + 1 ⇒ 2x = −1 ⇒ x = −0,5

Allgemein liegt die Nullstelle bei x = −b / m (für m ≠ 0). Eine waagerechte Gerade mit b ≠ 0 hat keine Nullstelle.

Schnittpunkt zweier Geraden

Zwei Geraden schneiden sich dort, wo sie denselben y-Wert haben. Man setzt die Funktionsterme gleich:

f(x) = 2x + 1 und g(x) = −x + 7: 2x + 1 = −x + 7 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2. Eingesetzt: f(2) = 5. Der Schnittpunkt ist S(2 | 5).

Gleiche Steigung, verschiedenes b: Die Geraden sind parallel und schneiden sich nie.
Gleiche Steigung und gleiches b: Die Geraden sind identisch.
Gilt m₁ · m₂ = −1, stehen die Geraden senkrecht aufeinander.

Lineare Funktionen im Alltag

Tarife: Ein Stromtarif mit 12 € Grundpreis im Monat und 0,32 € pro kWh ist K(x) = 0,32 · x + 12. Die Steigung ist der Arbeitspreis, b die Grundgebühr. Wie man den Verbrauch eines Geräts berechnet, steht unter Elektrische Leistung.
Gleichförmige Bewegung: s(t) = v · t + s₀, die Steigung ist die Geschwindigkeit.
Temperatur: °F = 1,8 · °C + 32.
Ohmsches Gesetz: U = R · I ist eine proportionale Funktion mit der Steigung R, siehe Ohmsches Gesetz.

Zwei Geraden für Handytarife: Tarif A mit 10 Euro Grundgebühr und 20 Cent pro Minute, Tarif B mit 45 Cent pro Minute, Schnittpunkt bei 40 Minuten und 18 Euro. — Der Schnittpunkt zeigt, ab wann sich ein Tarif lohnt.

Typische Fehler

Punkte vertauscht: In der Steigungsformel müssen oben und unten dieselbe Reihenfolge haben: (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁), nicht (y₂ − y₁) / (x₁ − x₂).
x und y verwechselt: Punkte werden immer als (x | y) geschrieben.
Negative Steigung falsch gezeichnet: Bei m = −2 geht es eine Einheit nach rechts und zwei nach unten.

Übungsaufgaben mit Lösungen

Aufgabe 1 (leicht): Bestimmen Sie Steigung und y-Achsenabschnitt von f(x) = −3x + 4 und berechnen Sie die Nullstelle.

Lösung anzeigen

m = −3, b = 4. Nullstelle: 0 = −3x + 4 ⇒ x = 4/3 ≈ 1,33.

Aufgabe 2 (mittel): Eine Gerade geht durch A(−2 | 5) und B(4 | 2). Stellen Sie die Funktionsgleichung auf.

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m = (2 − 5) / (4 − (−2)) = −3 / 6 = −0,5. Mit A: 5 = −0,5 · (−2) + b = 1 + b ⇒ b = 4. f(x) = −0,5x + 4. Probe mit B: −0,5 · 4 + 4 = 2 ✓

Aufgabe 3 (Anwendung): Tarif A kostet 10 € Grundgebühr plus 0,20 € pro Minute, Tarif B hat keine Grundgebühr und kostet 0,45 € pro Minute. Ab wie vielen Minuten ist Tarif A günstiger?

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A(x) = 0,20x + 10, B(x) = 0,45x. Gleichsetzen: 0,20x + 10 = 0,45x ⇒ 10 = 0,25x ⇒ x = 40. Bei genau 40 Minuten kosten beide 18 €, ab mehr als 40 Minuten ist Tarif A günstiger.

Fazit

Eine lineare Funktion f(x) = m · x + b hat eine Gerade als Graphen. Die Steigung m berechnet man aus zwei Punkten als Höhenunterschied durch Längenunterschied, der y-Achsenabschnitt b ist der Wert bei x = 0. Für die Nullstelle setzt man f(x) = 0, für Schnittpunkte setzt man zwei Funktionsterme gleich. Wie man die Steigung gekrümmter Kurven bestimmt, zeigt der Artikel Ableitung einfach erklärt. Weitere Themen finden Sie in der Übersicht Mathematik einfach erklärt.