3 kg Äpfel kosten 4,50 €. Was kosten 7 kg? 4 Maler brauchen 6 Tage für ein Haus. Wie lange brauchen 3 Maler? Solche Aufgaben löst man mit dem Dreisatz. Er heißt so, weil die Rechnung aus drei Sätzen besteht: Was man weiß, was eine Einheit ergibt, und was die gesuchte Menge ergibt.

Der Dreisatz ist eines der nützlichsten Werkzeuge der Alltagsmathematik: beim Einkaufen, beim Umrechnen von Rezepten, bei Spritverbrauch, Wechselkursen und in der Prozentrechnung. Wichtig ist nur, vorher zu erkennen, ob die Zuordnung proportional oder antiproportional ist.

Direkt ausrechnen: Dreisatz-Rechner: proportional und antiproportional

Proportional oder antiproportional?

• Proportional („je mehr, desto mehr“): Doppelte Menge bedeutet doppelten Wert. Beispiele: Menge und Preis, Strecke und Spritverbrauch, Arbeitszeit und Lohn.
• Antiproportional („je mehr, desto weniger“): Doppelte Menge bedeutet halben Wert. Beispiele: Anzahl der Arbeiter und Dauer, Geschwindigkeit und Fahrzeit, Anzahl der Personen und Vorrat pro Person.

Die Frage, die man sich stellen sollte: „Wenn ich die eine Größe verdopple, verdoppelt oder halbiert sich die andere?“ Gibt es keine der beiden Antworten, passt der Dreisatz nicht. Ein Auto, das 100 km/h fährt, hat nach zwei Stunden nicht automatisch doppelt so viel Benzin verbraucht, wenn es in der zweiten Stunde im Stau stand.

Der proportionale Dreisatz Schritt für Schritt

Beispiel: 3 kg Äpfel kosten 4,50 €. Was kosten 7 kg?

1. Bekannter Satz: 3 kg kosten 4,50 €.
2. Auf eine Einheit schließen: 1 kg kostet 4,50 € / 3 = 1,50 €. (Bei proportionaler Zuordnung wird geteilt.)
3. Auf die gesuchte Menge schließen: 7 kg kosten 1,50 € · 7 = 10,50 €.

Als Formel: x = b₁ / a₁ · a₂. Der Quotient b₁ / a₁ ist der Wert pro Einheit, hier der Kilopreis.

Der antiproportionale Dreisatz

Beispiel: 4 Maler brauchen 6 Tage, um ein Haus zu streichen. Wie lange brauchen 3 Maler, wenn alle gleich schnell arbeiten?

1. Bekannter Satz: 4 Maler brauchen 6 Tage.
2. Auf eine Einheit schließen: 1 Maler braucht 6 · 4 = 24 Tage. (Weniger Maler, also länger: Hier wird multipliziert.)
3. Auf die gesuchte Menge schließen: 3 Maler brauchen 24 / 3 = 8 Tage.

Als Formel: x = b₁ · a₁ / a₂. Das Produkt b₁ · a₁ bleibt bei antiproportionalen Zuordnungen immer gleich: 4 · 6 = 3 · 8 = 24 „Malertage“.

Weitere Beispiele aus dem Alltag

Spritverbrauch

Ein Auto verbraucht auf 450 km 27 Liter Benzin. Wie viel braucht es für 120 km? 1 km: 27 / 450 = 0,06 Liter. 120 km: 0,06 · 120 = 7,2 Liter. Das entspricht 6 Litern auf 100 km.

Rezept umrechnen

Ein Kuchenrezept für 4 Personen braucht 250 g Mehl. Für 6 Personen: 250 g / 4 · 6 = 375 g.

Fahrzeit und Geschwindigkeit

Mit 80 km/h dauert eine Strecke 45 Minuten. Mit 120 km/h: 45 · 80 / 120 = 30 Minuten (antiproportional).

Der zusammengesetzte Dreisatz

Manchmal hängen drei Größen zusammen: 5 Maschinen stellen in 4 Stunden 600 Teile her. Wie viele Teile stellen 3 Maschinen in 6 Stunden her? Man rechnet zwei Dreisätze nacheinander und verändert immer nur eine Größe:

1. 1 Maschine in 4 Stunden: 600 / 5 = 120 Teile.
2. 3 Maschinen in 4 Stunden: 120 · 3 = 360 Teile.
3. 3 Maschinen in 1 Stunde: 360 / 4 = 90 Teile.
4. 3 Maschinen in 6 Stunden: 90 · 6 = 540 Teile.

Typische Fehler

• Art der Zuordnung nicht geprüft: Wer die Maler-Aufgabe proportional rechnet, erhält 4,5 Tage. Weniger Maler würden also schneller fertig. Eine kurze Plausibilitätsprüfung verhindert solche Fehler.
• Einheiten gemischt: Minuten und Stunden oder Gramm und Kilogramm vorher auf dieselbe Einheit bringen.
• Zu früh gerundet: Den Wert pro Einheit möglichst genau stehen lassen und erst am Ende runden.

Übungsaufgaben mit Lösungen

Selbst nachrechnen

Geben Sie eigene Werte ein: Der Rechner zeigt jeden Schritt, so können Sie auch Ihre Lösungen der Übungsaufgaben prüfen.

Dreisatz: a₁ entspricht b₁, a₂ entspricht x

Menge a₁entspricht b₁Neue Menge a₂

Beispiel: 3 kg kosten 4,50 €, was kosten 7 kg? Der Rechner zeigt das Ergebnis für proportionale und für antiproportionale Zuordnungen.

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Fazit

Der Dreisatz löst jede Aufgabe, bei der zwei Größen proportional oder antiproportional zusammenhängen, in drei Schritten: bekannter Satz, Schluss auf die Einheit, Schluss auf die gesuchte Menge. Bei proportionalen Zuordnungen wird erst geteilt und dann multipliziert, bei antiproportionalen umgekehrt. Auf dem Dreisatz baut auch die Prozentrechnung auf. Weitere Themen finden Sie in der Übersicht Mathematik einfach erklärt.

Quellen und weiterführende Links

• Dreisatz (Wikipedia)
• Proportionalität (Wikipedia)