Prozentrechnung begegnet uns jeden Tag: 30 % Rabatt im Schlussverkauf, 19 % Mehrwertsteuer auf der Rechnung, 3 % mehr Gehalt oder 2,5 % Zinsen auf dem Tagesgeldkonto. Dahinter steckt immer dieselbe einfache Idee. Prozent heißt „von Hundert“: 25 % bedeutet 25 von 100, also ein Viertel.
Dieser Artikel erklärt die drei Grundgrößen, die eine Formel, aus der sich alles ableiten lässt, und die typischen Alltagsaufgaben: Rabatt, Mehrwertsteuer, prozentuale Veränderung und den oft verwechselten Unterschied zwischen Prozent und Prozentpunkten.
Direkt ausrechnen: Prozentrechner: Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz
Die drei Grundgrößen: Grundwert, Prozentsatz, Prozentwert
Jede Prozentaufgabe besteht aus drei Größen. Zwei davon sind bekannt, die dritte wird gesucht:
- Grundwert G: das Ganze, also 100 %. Zum Beispiel der ursprüngliche Preis von 80 €.
- Prozentsatz p: der Anteil in Prozent, zum Beispiel 25 %.
- Prozentwert W: der Teil, der dem Prozentsatz entspricht, zum Beispiel 20 € (25 % von 80 €).
Ein Trick, um die Größen im Text zu erkennen: Der Grundwert steht meist hinter dem Wort „von“ („25 % von 80 €“), der Prozentsatz hat das Zeichen %, und der Prozentwert hat dieselbe Einheit wie der Grundwert.
Die Formel und ihre Umstellungen
Alles folgt aus einer einzigen Formel:
W = G · p / 100
Umgestellt nach den beiden anderen Größen:
- Grundwert: G = W · 100 / p
- Prozentsatz: p = W / G · 100
Viele rechnen lieber mit dem Dezimalbruch: 25 % sind 0,25, also W = G · 0,25. Das ist dieselbe Rechnung, nur ist die Division durch 100 schon erledigt. Wer die Formeln nicht auswendig lernen möchte, kann jede Prozentaufgabe auch mit dem Dreisatz lösen: 100 % entsprechen G, also entspricht 1 % dem Wert G / 100, und p % entsprechen G / 100 · p.
Beispiel 1: Prozentwert berechnen
Wie viel sind 25 % von 80 €? W = 80 € · 25 / 100 = 20 €.
Beispiel 2: Grundwert berechnen
In einer Rechnung stehen 38 € Mehrwertsteuer, der Steuersatz ist 19 %. Wie hoch ist der Nettobetrag? G = 38 € · 100 / 19 = 200 €.
Beispiel 3: Prozentsatz berechnen
Von 50 Fragen eines Tests wurden 42 richtig beantwortet. Wie viel Prozent sind das? p = 42 / 50 · 100 = 84 %.
Prozentuale Veränderung: Zunahme und Abnahme
Steigt ein Preis von 80 € auf 92 €, möchte man oft wissen, um wie viel Prozent er gestiegen ist. Die Formel dafür lautet:
Veränderung in % = (neuer Wert − alter Wert) / alter Wert · 100
Hier: (92 − 80) / 80 · 100 = 12 / 80 · 100 = 15 %. Entscheidend ist, dass immer durch den alten Wert geteilt wird. Er ist der Grundwert.
Rabatt und Aufschlag mit dem Wachstumsfaktor
Am schnellsten rechnet man mit dem Faktor q:
- Erhöhung um p %: neuer Wert = alter Wert · (1 + p/100). Beispiel: 3 % mehr Gehalt auf 2.500 € ergibt 2.500 € · 1,03 = 2.575 €.
- Senkung um p %: neuer Wert = alter Wert · (1 − p/100). Beispiel: 30 % Rabatt auf 60 € ergibt 60 € · 0,7 = 42 €.
Mehrwertsteuer: brutto und netto
In Deutschland beträgt der reguläre Mehrwertsteuersatz 19 %, der ermäßigte 7 % (zum Beispiel für viele Lebensmittel und Bücher). Der Nettopreis ist der Grundwert:
- Von netto zu brutto: brutto = netto · 1,19. Aus 100 € netto werden 119 € brutto.
- Von brutto zu netto: netto = brutto / 1,19. Aus 119 € brutto werden wieder 100 € netto.
Ein häufiger Fehler ist es, vom Bruttopreis einfach 19 % abzuziehen: 119 € · 0,81 = 96,39 €, nicht 100 €. Das liegt daran, dass sich die 19 % auf den Nettopreis beziehen und nicht auf den Bruttopreis. Im Bruttopreis von 119 € stecken 19 € Steuer, das sind nur rund 16 % von 119 €.
Prozent und Prozentpunkte
Steigt ein Zinssatz von 2 % auf 3 %, ist er um einen Prozentpunkt gestiegen, aber um 50 Prozent, denn 1 ist die Hälfte von 2. Prozentpunkte beschreiben den Abstand zwischen zwei Prozentsätzen, Prozent das Verhältnis. Bei Wahlergebnissen, Zinsen und Quoten ist der Unterschied wichtig: „Die Partei hat 5 Prozent gewonnen“ und „die Partei hat 5 Prozentpunkte gewonnen“ bedeuten etwas völlig anderes.
Typische Fehler
- Prozente einfach addieren: Erst 10 % teurer, dann 10 % billiger ergibt nicht den alten Preis. 100 € · 1,1 · 0,9 = 99 €. Der Rabatt bezieht sich auf den schon erhöhten Preis.
- Falscher Grundwert: Bei Veränderungen immer durch den Ausgangswert teilen. Fällt eine Aktie von 100 € auf 50 € (−50 %), muss sie danach um 100 % steigen, um wieder bei 100 € zu sein.
- Mehrwertsteuer rückwärts: Nicht 19 % vom Bruttopreis abziehen, sondern durch 1,19 teilen.
- Komma vergessen: 5 % sind 0,05, nicht 0,5.
Übungsaufgaben mit Lösungen
Rechnen Sie erst selbst und klappen Sie dann die Lösung auf.
Aufgabe 1 (leicht): Ein Fahrrad kostet 640 €. Im Sommerschlussverkauf gibt es 15 % Rabatt. Wie viel kostet es dann?
Lösung anzeigen
Mit dem Faktor: 640 € · (1 − 0,15) = 640 € · 0,85 = 544 €. Der Rabatt beträgt 96 €.
Aufgabe 2 (mittel): Eine Handwerkerrechnung beträgt 1.428 € brutto inklusive 19 % Mehrwertsteuer. Wie hoch sind Nettobetrag und Steuer?
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netto = 1.428 € / 1,19 = 1.200 €. Die Steuer ist 1.428 € − 1.200 € = 228 € (das sind 19 % von 1.200 €).
Aufgabe 3 (knifflig): Die Miete steigt im ersten Jahr um 4 % und im zweiten Jahr um 5 %. Um wie viel Prozent ist sie insgesamt gestiegen?
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Die Faktoren werden multipliziert, nicht die Prozente addiert: 1,04 · 1,05 = 1,092. Die Miete ist insgesamt um 9,2 % gestiegen, nicht um 9 %.
Selbst nachrechnen
Geben Sie eigene Werte ein: Der Rechner zeigt jeden Schritt, so können Sie auch Ihre Lösungen der Übungsaufgaben prüfen.
Fazit
Prozentrechnung beruht auf einer einzigen Formel, W = G · p / 100. Wer den Grundwert richtig erkennt, löst damit jede Aufgabe, vom Rabatt bis zur Mehrwertsteuer. Für Veränderungen rechnet man am besten mit dem Faktor 1 ± p/100, und mehrere Veränderungen hintereinander werden multipliziert. Die Prozentrechnung ist außerdem eine direkte Anwendung des Dreisatzes. Weitere Grundlagen finden Sie in der Übersicht Mathematik einfach erklärt.
Quellen und weiterführende Links
- Prozent (Wikipedia)
- § 12 Umsatzsteuergesetz: Steuersätze (Bundesministerium der Justiz)
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