Bruchrechnung einfach erklärt: Kürzen, Erweitern und Rechenregeln

Brüche begegnen uns ständig: ein Viertel Pizza, drei Achtel Liter, eine halbe Stunde. In der Mathematik sind sie die Grundlage für Prozentrechnung, Gleichungen, Wahrscheinlichkeiten und fast jede Formel in Physik und Technik. Wer die vier Grundrechenarten mit Brüchen sicher beherrscht, hat es in allen späteren Themen leichter.

Dieser Artikel erklärt, was Zähler und Nenner bedeuten, wie man Brüche kürzt und erweitert, wie man sie addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert und wie man Brüche in Dezimalzahlen und Prozent umrechnet.

Was ist ein Bruch?

Ein Bruch beschreibt einen Teil eines Ganzen. In 3/4 steht oben der Zähler (3), unten der Nenner (4), dazwischen der Bruchstrich. Der Nenner sagt, in wie viele gleich große Teile das Ganze geteilt wird, der Zähler, wie viele dieser Teile man nimmt. Der Bruchstrich bedeutet „geteilt durch“: 3/4 = 3 : 4 = 0,75.

Echter Bruch: Zähler kleiner als Nenner, zum Beispiel 2/5. Der Wert liegt zwischen 0 und 1.
Unechter Bruch: Zähler größer als der Nenner oder gleich groß, zum Beispiel 7/4. Er lässt sich als gemischte Zahl schreiben: 7/4 = 1 3/4.
Stammbruch: Zähler 1, zum Beispiel 1/8.

Kreis in vier gleiche Teile geteilt, drei davon gefärbt, daneben der Bruch drei Viertel mit Zähler 3 und Nenner 4. — Der Nenner sagt, in wie viele Teile geteilt wird, der Zähler, wie viele man nimmt.

Kürzen und Erweitern

Man darf Zähler und Nenner mit derselben Zahl (außer 0) multiplizieren oder durch dieselbe Zahl teilen, ohne dass sich der Wert des Bruchs ändert.

Erweitern: 2/3 = (2 · 4)/(3 · 4) = 8/12.
Kürzen: 18/24 = (18 : 6)/(24 : 6) = 3/4. Am schnellsten kürzt man mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT), hier 6.

Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler außer 1 mehr haben. Ergebnisse gibt man in der Regel vollständig gekürzt an.

Drei gleich lange Balken zeigen 2/3, 4/6 und 8/12: Der gefärbte Anteil ist immer gleich groß. — 2/3, 4/6 und 8/12 sind derselbe Bruch: Erweitern und Kürzen ändern nur die Einteilung.

Brüche addieren und subtrahieren

Addieren und subtrahieren kann man nur Brüche mit gleichem Nenner. Dann rechnet man nur mit den Zählern, der Nenner bleibt: 2/7 + 3/7 = 5/7.

Bei verschiedenen Nennern bringt man die Brüche zuerst auf einen gemeinsamen Nenner, am besten den kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) der Nenner, den Hauptnenner:

Hauptnenner bestimmen: Für 1/4 + 5/6 ist das kgV von 4 und 6 gleich 12.
Erweitern: 1/4 = 3/12 und 5/6 = 10/12.
Zähler addieren: 3/12 + 10/12 = 13/12.
Kürzen oder als gemischte Zahl schreiben: 13/12 = 1 1/12.

Subtraktion funktioniert genauso: 5/6 − 1/4 = 10/12 − 3/12 = 7/12.

Brüche multiplizieren

Multiplizieren ist einfacher als Addieren: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.

2/3 · 4/5 = (2 · 4)/(3 · 5) = 8/15

Tipp: Vor dem Ausmultiplizieren über Kreuz kürzen spart Arbeit. 3/8 · 4/9: Die 3 und die 9 lassen sich durch 3 kürzen, die 4 und die 8 durch 4. Es bleibt 1/2 · 1/3 = 1/6.

Eine ganze Zahl schreibt man als Bruch mit Nenner 1: 3 · 2/7 = 3/1 · 2/7 = 6/7.

Brüche dividieren

Man teilt durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert. Den Kehrwert erhält man, indem man Zähler und Nenner vertauscht.

3/4 : 2/5 = 3/4 · 5/2 = 15/8 = 1 7/8

Merksatz: „Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.“

Tabelle der vier Rechenarten mit Brüchen: Addieren und Subtrahieren mit gleichem Nenner, Multiplizieren Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner, Dividieren mit dem Kehrwert, jeweils mit Beispiel. — Die vier Rechenarten mit Brüchen auf einen Blick.

Brüche, Dezimalzahlen und Prozent

Bruch → Dezimalzahl: Zähler durch Nenner teilen: 3/8 = 3 : 8 = 0,375. Manche Brüche ergeben periodische Dezimalzahlen: 1/3 = 0,333… = 0,3 mit Periode.
Dezimalzahl → Bruch: 0,45 = 45/100 = 9/20.
Bruch → Prozent: Auf den Nenner 100 erweitern oder die Dezimalzahl mal 100 nehmen: 3/4 = 75/100 = 75 %.

Mehr zum Rechnen mit Prozenten steht im Artikel Prozentrechnung einfach erklärt.

Typische Fehler

Nenner addiert: 1/2 + 1/3 ist nicht 2/5, sondern 3/6 + 2/6 = 5/6.
Aus Summen gekürzt: (2 + 3)/3 darf man nicht zu 2 kürzen. Gekürzt werden dürfen nur Faktoren, keine Summanden: (2 + 3)/3 = 5/3.
Beim Dividieren den falschen Bruch umgedreht: Nur der Divisor (der Bruch hinter dem Geteiltzeichen) wird zum Kehrwert.
Gemischte Zahlen direkt multipliziert: Erst in unechte Brüche umwandeln: 1 1/2 · 2 1/3 = 3/2 · 7/3 = 7/2.

Übungsaufgaben mit Lösungen

Aufgabe 1 (leicht): Kürzen Sie 36/48 vollständig.

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Der größte gemeinsame Teiler von 36 und 48 ist 12: 36/48 = (36 : 12)/(48 : 12) = 3/4.

Aufgabe 2 (mittel): Berechnen Sie 2/3 + 3/4 − 5/6.

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Hauptnenner 12: 8/12 + 9/12 − 10/12 = 7/12.

Aufgabe 3 (Anwendung): Ein Rezept für 4 Personen braucht 3/4 Liter Milch. Wie viel Milch braucht man für 6 Personen, und wie viele 1/8-Liter-Becher sind das?

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Für 6 Personen: 3/4 · 6/4 = 18/16 = 9/8 Liter (1 1/8 Liter). Anzahl der Becher: 9/8 : 1/8 = 9/8 · 8/1 = 9 Becher.

Fazit

Ein Bruch ist eine Division: Zähler durch Nenner. Zum Addieren und Subtrahieren braucht man einen gemeinsamen Nenner, beim Multiplizieren rechnet man Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner, und beim Dividieren multipliziert man mit dem Kehrwert. Kürzen Sie früh und vollständig, und kürzen Sie nur Faktoren, nie Summanden. Weitere Grundlagen finden Sie in der Übersicht Mathematik einfach erklärt.