Ableitung einfach erklärt: alle Ableitungsregeln mit Beispielen

Die Ableitung ist das zentrale Werkzeug der Differentialrechnung. Sie beantwortet eine einfache Frage: Wie stark ändert sich eine Größe, wenn sich eine andere ein kleines bisschen ändert? Die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Weges nach der Zeit, die Steigung einer Kurve an einer Stelle ist die Ableitung der Funktion an dieser Stelle.

Dieser Artikel erklärt anschaulich, was eine Ableitung ist, stellt alle wichtigen Ableitungsregeln mit Beispielen vor und zeigt, wofür man Ableitungen in Schule, Physik und Technik braucht.

Was ist eine Ableitung?

Bei einer Geraden ist die Steigung überall gleich: Man geht eine Einheit nach rechts und so viele Einheiten nach oben, wie die Steigung angibt. Eine Kurve wie die Parabel f(x) = x² wird dagegen immer steiler. Ihre Steigung hängt von der Stelle x ab.

Die Ableitung f'(x) („f Strich von x“) gibt genau diese Steigung an jeder Stelle an. Geometrisch ist sie die Steigung der Tangente, also der Geraden, die die Kurve an dieser Stelle gerade berührt.

Vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten

Die Steigung zwischen zwei Punkten einer Kurve berechnet man mit dem Differenzenquotienten:

(f(x + h) − f(x)) / h

Das ist die Steigung der Sekante durch die Punkte bei x und x + h. Lässt man h immer kleiner werden, rückt der zweite Punkt an den ersten heran, und aus der Sekante wird die Tangente. Der Grenzwert für h → 0 heißt Differentialquotient, und das ist die Ableitung.

Für f(x) = x² ergibt sich: ((x + h)² − x²) / h = (x² + 2xh + h² − x²) / h = 2x + h. Für h → 0 bleibt f'(x) = 2x. (Beim Ausmultiplizieren hilft die erste binomische Formel.) An der Stelle x = 3 hat die Parabel also die Steigung 6.

Graph der Parabel f von x gleich x Quadrat mit einer Sekante durch die Punkte P(3|9) und Q(4|16) und der Tangente in P mit der Steigung 6. — Aus der Sekante durch P und Q wird die Tangente, wenn Q an P heranrückt. Ihre Steigung f′(3) = 6 ist die Ableitung an der Stelle 3.

Die Ableitungsregeln

Niemand berechnet jede Ableitung über den Grenzwert. Dafür gibt es Regeln, die einmal hergeleitet wurden und dann immer gelten.

Potenzregel

f(x) = xⁿ ⇒ f'(x) = n · xⁿ⁻¹

Der Exponent wandert als Faktor nach vorne und wird um eins kleiner. Beispiele: (x³)‘ = 3x², (x⁵)‘ = 5x⁴. Die Regel gilt auch für negative und gebrochene Exponenten: (1/x)‘ = (x⁻¹)‘ = −x⁻² = −1/x², und (√x)‘ = (x^½)‘ = ½ · x^(−½) = 1 / (2√x).

Konstanten-, Faktor- und Summenregel

Eine Konstante hat die Ableitung 0: (7)‘ = 0. Sie ändert sich nicht.
Ein konstanter Faktor bleibt stehen: (4x³)‘ = 4 · 3x² = 12x².
Summen werden gliedweise abgeleitet: (x³ + 2x² − 5x + 1)‘ = 3x² + 4x − 5.

Produktregel

(u · v)‘ = u‘ · v + u · v‘

Beispiel: f(x) = x² · sin x. Mit u = x² und v = sin x ergibt sich f'(x) = 2x · sin x + x² · cos x.

Quotientenregel

(u / v)‘ = (u‘ · v − u · v‘) / v²

Beispiel: f(x) = (x + 1) / (x − 1). Mit u = x + 1, u‘ = 1, v = x − 1, v‘ = 1: f'(x) = (1 · (x − 1) − (x + 1) · 1) / (x − 1)² = −2 / (x − 1)².

Kettenregel

f(g(x))‘ = f'(g(x)) · g'(x) („äußere Ableitung mal innere Ableitung“)

Beispiel: f(x) = (3x + 2)⁵. Die äußere Funktion ist ( )⁵, die innere 3x + 2. f'(x) = 5 · (3x + 2)⁴ · 3 = 15 · (3x + 2)⁴. Ohne Kettenregel müsste man die Klammer erst mühsam ausmultiplizieren.

Wichtige Ableitungen zum Nachschlagen

(sin x)‘ = cos x
(cos x)‘ = −sin x
(eˣ)‘ = eˣ — die e-Funktion ist ihre eigene Ableitung
(ln x)‘ = 1/x
(aˣ)‘ = ln(a) · aˣ

Wofür braucht man Ableitungen?

Extremstellen finden

An einem Hoch- oder Tiefpunkt verläuft die Tangente waagerecht, die Steigung ist dort 0. Man setzt also f'(x) = 0 und löst die Gleichung. Beispiel: f(x) = x² − 4x + 1 hat f'(x) = 2x − 4 = 0 bei x = 2. Das ist der Scheitelpunkt der Parabel mit f(2) = −3. Ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt, zeigt die zweite Ableitung: f“(x) = 2 > 0, also ein Tiefpunkt. Bei Polynomen höheren Grades führt f'(x) = 0 oft auf eine quadratische Gleichung.

Physik: Geschwindigkeit und Beschleunigung

Beschreibt s(t) den Weg eines Körpers in Abhängigkeit von der Zeit, dann ist v(t) = s'(t) die Geschwindigkeit und a(t) = v'(t) = s“(t) die Beschleunigung. Beim freien Fall gilt s(t) = ½ · g · t². Abgeleitet: v(t) = g · t und a = g ≈ 9,81 m/s². Das passt zum 2. newtonschen Gesetz, nach dem die Gewichtskraft m · g genau diese Beschleunigung bewirkt.

Technik und Wirtschaft

Ableitungen beschreiben überall Änderungsraten: wie schnell sich ein Akku entlädt, wie stark die Kosten pro zusätzlich produziertem Stück steigen (Grenzkosten) oder wie sich der Strom in einer Spule ändert. Auch Optimierungsverfahren in der Informatik, etwa das Training neuronaler Netze mit dem Gradientenverfahren, beruhen auf Ableitungen.

Typische Fehler

Konstante nicht weggelassen: (x² + 5)‘ = 2x, nicht 2x + 5.
Innere Ableitung vergessen: (sin(2x))‘ = 2 · cos(2x), nicht cos(2x).
Produkt gliedweise abgeleitet: (x · sin x)‘ ist nicht 1 · cos x, sondern sin x + x · cos x.
Vorzeichen beim Kosinus: (cos x)‘ = −sin x.

Übungsaufgaben mit Lösungen

Aufgabe 1 (leicht): Leiten Sie f(x) = 2x⁴ − 3x² + 7x − 9 ab.

Lösung anzeigen

Gliedweise mit Potenz- und Faktorregel: f'(x) = 8x³ − 6x + 7. Die Konstante −9 fällt weg.

Aufgabe 2 (mittel): Leiten Sie f(x) = x · eˣ ab und bestimmen Sie die Stelle mit waagerechter Tangente.

Lösung anzeigen

Produktregel: f'(x) = 1 · eˣ + x · eˣ = (1 + x) · eˣ. Da eˣ nie 0 wird, ist f'(x) = 0 genau bei x = −1.

Aufgabe 3 (Kettenregel): Leiten Sie f(x) = √(x² + 9) ab und berechnen Sie f'(4).

Lösung anzeigen

Äußere Funktion √u mit Ableitung 1 / (2√u), innere Funktion x² + 9 mit Ableitung 2x: f'(x) = 2x / (2√(x² + 9)) = x / √(x² + 9). f'(4) = 4 / √25 = 0,8.

Fazit

Die Ableitung misst, wie schnell sich eine Funktion an einer Stelle ändert, und ist geometrisch die Steigung der Tangente. Mit Potenz-, Faktor- und Summenregel lassen sich alle Polynome ableiten, für Produkte, Brüche und verschachtelte Funktionen gibt es die Produkt-, Quotienten- und Kettenregel. Die wichtigste Anwendung ist die Suche nach Hoch- und Tiefpunkten über f'(x) = 0. Weitere Grundlagen finden Sie in der Übersicht Mathematik einfach erklärt.