Dreieck berechnen: Fläche, Winkel und Seiten mit Rechner

Ein Dreieck ist die einfachste geschlossene Figur aus geraden Linien, und doch steckt in ihm erstaunlich viel Mathematik. Wer eine Dachfläche ausmessen, einen Grundstückszipfel berechnen oder in der Schule eine Geometrieaufgabe lösen möchte, braucht immer dieselben Werkzeuge: die Winkelsumme, die Flächenformel und, wenn die Höhe fehlt, den Sinus- und den Kosinussatz.

Dieser Artikel zeigt, welche Angaben man braucht, um ein Dreieck vollständig zu berechnen, und rechnet die typischen Fälle Schritt für Schritt vor.

Direkt ausrechnen: Dreieck-Rechner: Seiten, Winkel und Fläche berechnen

Bezeichnungen im Dreieck

Die Ecken heißen A, B und C, meist gegen den Uhrzeigersinn. Die Seite gegenüber der Ecke A heißt a, gegenüber B liegt b, gegenüber C liegt c. Die Winkel an den Ecken heißen α (alpha) bei A, β (beta) bei B und γ (gamma) bei C. Der Winkel γ liegt also zwischen den Seiten a und b.

Die Höhe h ist der senkrechte Abstand einer Ecke von der gegenüberliegenden Seite. Jedes Dreieck hat drei Höhen h_a, h_b und h_c.

Dreieck mit den Ecken A, B und C, den gegenüberliegenden Seiten a, b und c, den Winkeln Alpha, Beta und Gamma sowie der Höhe h c. — Bezeichnungen im Dreieck: Jede Seite liegt der gleichnamigen Ecke gegenüber, γ liegt zwischen a und b.

Die wichtigsten Regeln

Winkelsumme: α + β + γ = 180°. Kennt man zwei Winkel, kennt man auch den dritten.
Dreiecksungleichung: Zwei Seiten zusammen sind immer länger als die dritte. Aus 1 cm, 2 cm und 5 cm lässt sich kein Dreieck bauen.
Größere Seite, größerer Winkel: Der größte Winkel liegt immer der längsten Seite gegenüber.

Fläche und Umfang

Der Umfang ist einfach die Summe der drei Seiten: u = a + b + c.

Für die Fläche gibt es je nach bekannten Größen drei Formeln:

Grundseite mal Höhe: A = ½ · g · h. Beispiel: Grundseite 8 cm, Höhe 5 cm ergibt A = ½ · 8 · 5 = 20 cm².
Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel: A = ½ · a · b · sin γ. Beispiel: a = 6 m, b = 4 m, γ = 30° ergibt A = ½ · 6 · 4 · 0,5 = 6 m².
Drei Seiten (Heron-Formel): Mit dem halben Umfang s = (a + b + c) / 2 gilt A = √(s · (s − a) · (s − b) · (s − c)).

Die Formel ½ · g · h lässt sich gut veranschaulichen: Jedes Dreieck ist genau die Hälfte eines Parallelogramms mit derselben Grundseite und Höhe.

Fehlende Seiten und Winkel berechnen

Ein Dreieck ist eindeutig bestimmt, wenn man drei passende Angaben hat, darunter mindestens eine Seite. Die üblichen Fälle sind nach den bekannten Stücken benannt (S = Seite, W = Winkel):

SSS: drei Seiten bekannt. Winkel mit dem Kosinussatz.
SWS: zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel. Dritte Seite mit dem Kosinussatz.
WSW: eine Seite und die beiden anliegenden Winkel. Dritter Winkel über die Winkelsumme, Seiten mit dem Sinussatz.
SsW: zwei Seiten und der Winkel gegenüber der längeren Seite. Mit dem Sinussatz.

Der Kosinussatz

c² = a² + b² − 2 · a · b · cos γ

Er ist eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras: Bei γ = 90° ist cos γ = 0, und es bleibt c² = a² + b². Umgestellt nach dem Winkel: cos γ = (a² + b² − c²) / (2ab).

Der Sinussatz

a / sin α = b / sin β = c / sin γ

Das Verhältnis von Seite zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels ist in jedem Dreieck gleich. Kennt man ein solches Paar, kann man jede weitere Seite oder jeden weiteren Winkel ausrechnen.

Beispiel 1: Drei Seiten bekannt (SSS)

Gegeben: a = 5 cm, b = 6 cm, c = 7 cm.

Winkel γ: cos γ = (25 + 36 − 49) / (2 · 5 · 6) = 12 / 60 = 0,2, also γ ≈ 78,46°.
Winkel α: cos α = (b² + c² − a²) / (2bc) = (36 + 49 − 25) / 84 ≈ 0,714, also α ≈ 44,42°.
Winkel β = 180° − 44,42° − 78,46° ≈ 57,12°.
Fläche: s = 9, A = √(9 · 4 · 3 · 2) = √216 ≈ 14,70 cm².

Beispiel 2: Zwei Seiten und ein Winkel (SWS)

Ein dreieckiges Grundstück hat zwei Grenzen von 40 m und 30 m, die in einem Winkel von 60° aufeinandertreffen. Wie lang ist die dritte Grenze und wie groß ist die Fläche?

c² = 40² + 30² − 2 · 40 · 30 · cos 60° = 1.600 + 900 − 1.200 = 1.300, also c ≈ 36,06 m.
A = ½ · 40 · 30 · sin 60° ≈ ½ · 1.200 · 0,866 ≈ 519,6 m².

Das rechtwinklige Dreieck

Hat ein Dreieck einen rechten Winkel, wird vieles einfacher. Die Seite gegenüber dem rechten Winkel ist die Hypotenuse, die beiden anderen sind die Katheten. Es gelten der Satz des Pythagoras und die Winkelfunktionen:

sin α = Gegenkathete / Hypotenuse
cos α = Ankathete / Hypotenuse
tan α = Gegenkathete / Ankathete

Die Fläche ist einfach das halbe Produkt der beiden Katheten. Mit dem Pythagoras-Rechner lässt sich die fehlende Seite direkt ausrechnen.

Dreiecksarten im Überblick

Nach Winkeln: spitzwinklig (alle Winkel unter 90°), rechtwinklig (ein Winkel genau 90°), stumpfwinklig (ein Winkel über 90°).
Nach Seiten: gleichseitig (alle Seiten gleich, alle Winkel 60°), gleichschenklig (zwei Seiten gleich, die beiden Basiswinkel ebenfalls), unregelmäßig.

Für das gleichseitige Dreieck mit der Seite a gibt es eine eigene Flächenformel: A = (√3 / 4) · a² ≈ 0,433 · a².

Typische Fehler

Taschenrechner im Bogenmaß: Für Winkel in Grad muss der Rechner auf DEG stehen, nicht auf RAD.
Falscher Winkel im Kosinussatz: Der Winkel muss der gesuchten Seite gegenüberliegen, also zwischen den beiden bekannten Seiten liegen.
Höhe mit Seite verwechselt: In A = ½ · g · h steht die Höhe senkrecht auf der Grundseite. Eine schräge Seite ist keine Höhe.

Übungsaufgaben mit Lösungen

Aufgabe 1 (leicht): In einem Dreieck sind α = 48° und β = 67°. Wie groß ist γ?

Lösung anzeigen

γ = 180° − 48° − 67° = 65°.

Aufgabe 2 (mittel): Ein Giebel ist ein gleichschenkliges Dreieck mit einer Grundseite von 9 m und einer Höhe von 3,5 m. Wie groß ist die Fläche, und wie lang sind die beiden Dachschrägen?

Lösung anzeigen

Fläche: A = ½ · 9 · 3,5 = 15,75 m². Die Höhe teilt den Giebel in zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten 4,5 m und 3,5 m. Dachschräge = √(4,5² + 3,5²) = √32,5 ≈ 5,70 m.

Aufgabe 3 (Kosinussatz): Gegeben sind a = 8 cm, b = 5 cm und γ = 120°. Berechnen Sie c.

Lösung anzeigen

cos 120° = −0,5. c² = 64 + 25 − 2 · 8 · 5 · (−0,5) = 89 + 40 = 129, also c ≈ 11,36 cm. Ein stumpfer Winkel macht die gegenüberliegende Seite länger als beim Pythagoras.

Selbst nachrechnen

Geben Sie eigene Werte ein: Der Rechner zeigt jeden Schritt, so können Sie auch Ihre Lösungen der Übungsaufgaben prüfen.

Fazit

Mit der Winkelsumme von 180°, der Flächenformel und den beiden Sätzen für Sinus und Kosinus lässt sich jedes Dreieck berechnen, sobald drei passende Stücke bekannt sind. Der Kosinussatz ist dabei der vielseitigste Helfer: Er liefert sowohl fehlende Seiten als auch Winkel und enthält den Satz des Pythagoras als Sonderfall. Weitere Geometrie und Algebra finden Sie in der Übersicht Mathematik einfach erklärt.