Wie viel Zaun braucht ein rundes Beet, wie groß ist eine Pizza mit 32 cm Durchmesser, und wie weit kommt ein Fahrrad mit einer Radumdrehung? All das sind Kreisberechnungen. Man braucht dafür nur zwei Formeln und eine besondere Zahl: die Kreiszahl π.

Dieser Artikel erklärt die Bezeichnungen am Kreis, die Formeln für Umfang und Fläche, die Berechnung von Kreisbogen, Kreisausschnitt und Kreisring und wie man aus dem Umfang oder der Fläche den Radius zurückrechnet.

Bezeichnungen am Kreis

• Mittelpunkt M: Alle Punkte des Kreises haben von ihm denselben Abstand.
• Radius r: der Abstand vom Mittelpunkt zum Rand.
• Durchmesser d: die längste Strecke durch den Mittelpunkt von Rand zu Rand, d = 2 · r.
• Umfang U: die Länge der Kreislinie.
• Fläche A: der Inhalt der Kreisfläche.

Die Kreiszahl π

Teilt man den Umfang eines beliebigen Kreises durch seinen Durchmesser, erhält man immer dieselbe Zahl: π ≈ 3,14159. Für Schulrechnungen reicht meist 3,14, der Taschenrechner hat eine eigene π-Taste. Warum π nie endet und wie man es berechnet, erklärt der Artikel Kreiszahl Pi einfach erklärt.

Umfang berechnen

U = 2 · π · r = π · d

Beispiel: Ein Fahrradreifen hat einen Durchmesser von 70 cm. Eine Umdrehung entspricht U = π · 70 cm ≈ 219,9 cm, also rund 2,2 m. Für einen Kilometer braucht das Rad etwa 1000 m / 2,2 m ≈ 455 Umdrehungen.

Fläche berechnen

A = π · r²

Achtung: Hier steht der Radius im Quadrat, nicht der Durchmesser. Gibt die Aufgabe den Durchmesser an, halbiert man ihn zuerst. Alternativ gilt A = π · d² / 4.

Beispiel: Eine Pizza mit 32 cm Durchmesser hat r = 16 cm und A = π · 16² ≈ 804 cm². Eine 26-cm-Pizza hat nur π · 13² ≈ 531 cm². Die etwas größere Pizza hat also gut 50 % mehr Fläche, weil der Radius quadratisch eingeht.

Radius aus Umfang oder Fläche

• Aus dem Umfang: r = U / (2 · π). Ein Baumstamm mit 1,5 m Umfang hat r = 1,5 / (2π) ≈ 0,24 m, also etwa 48 cm Durchmesser.
• Aus der Fläche: r = √(A / π). Ein runder Teich mit 20 m² hat r = √(20 / π) ≈ 2,52 m.

Kreisbogen und Kreisausschnitt

Ein Kreisausschnitt (Kreissektor) ist ein „Tortenstück“ mit dem Mittelpunktswinkel α. Er ist der Anteil α/360° vom ganzen Kreis:

Bogenlänge b = α / 360° · 2 · π · r

Fläche des Ausschnitts A_S = α / 360° · π · r²

Beispiel: Ein Tortenstück mit α = 45° aus einer Torte mit r = 14 cm hat eine Bogenlänge von 45/360 · 2π · 14 ≈ 11,0 cm und eine Fläche von 45/360 · π · 14² ≈ 77,0 cm². Das ist genau ein Achtel der Torte.

Kreisring

Ein Kreisring ist die Fläche zwischen zwei Kreisen mit gleichem Mittelpunkt, etwa eine Unterlegscheibe oder eine Laufbahn. Man zieht die innere von der äußeren Kreisfläche ab:

A = π · (R² − r²)

Beispiel: Eine Unterlegscheibe mit Außenradius 10 mm und Lochradius 4,5 mm hat A = π · (100 − 20,25) mm² ≈ 250,5 mm².

Kreise in der Technik

• Kabel- und Rohrquerschnitte: Ein Draht mit 1,38 mm Durchmesser hat A = π · 0,69² ≈ 1,5 mm². Eine Leitung mit dem üblichen Querschnitt 1,5 mm² hat also Adern von knapp 1,4 mm Durchmesser.
• Zahnräder und Riemen: Der Umfang bestimmt, wie weit sich ein Riemen pro Umdrehung bewegt.
• Kreisbewegung: Die Bahngeschwindigkeit ist v = 2 · π · r / T, bei einer Umlaufzeit T.

Für Dreiecke im Kreis, etwa beim Satz des Thales, hilft der Artikel Dreieck berechnen.

Typische Fehler

• Durchmesser statt Radius quadriert: Bei d = 10 cm ist A = π · 5² ≈ 78,5 cm², nicht π · 10² ≈ 314 cm².
• Einheiten vergessen: Umfang in cm, Fläche in cm².
• Zu früh gerundet: Mit der π-Taste rechnen und erst am Ende runden.

Übungsaufgaben mit Lösungen

Fazit

Für den Kreis braucht man zwei Formeln: den Umfang U = 2 · π · r und die Fläche A = π · r². Kreisbogen und Kreisausschnitt sind der Anteil α/360° davon, der Kreisring ist die Differenz zweier Kreisflächen. Achten Sie darauf, mit dem Radius zu rechnen, und runden Sie erst am Ende. Alle Formeln zum Nachschlagen stehen in der Formelsammlung, weitere Themen in der Übersicht Mathematik einfach erklärt.

Quellen und weiterführende Links

• Kreis (Wikipedia)
• Kreissektor (Wikipedia)