Wahrscheinlichkeitsrechnung einfach erklärt: Laplace und Baumdiagramm

Wie wahrscheinlich ist eine Sechs beim Würfeln, zwei Köpfe beim zweifachen Münzwurf oder ein Gewinn im Lotto? Die Wahrscheinlichkeitsrechnung gibt darauf genaue Antworten. Sie ist die Grundlage für Statistik, Versicherungen, Wettervorhersagen, Qualitätskontrolle in der Fertigung und viele Verfahren der Informatik und künstlichen Intelligenz.

Dieser Artikel erklärt die wichtigsten Begriffe, die Laplace-Formel, das Gegenereignis, Baumdiagramme mit den Pfadregeln und einfache Abzählformeln, jeweils mit Beispielen.

Grundbegriffe

Zufallsexperiment: ein Vorgang mit unvorhersehbarem Ausgang, der sich unter gleichen Bedingungen wiederholen lässt, etwa ein Würfelwurf.
Ergebnis: ein möglicher Ausgang, zum Beispiel „4“.
Ergebnismenge Ω: alle möglichen Ergebnisse, beim Würfel Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Ereignis: eine Teilmenge der Ergebnisse, etwa „gerade Zahl“ = {2, 4, 6}.
Wahrscheinlichkeit P: eine Zahl zwischen 0 (unmöglich) und 1 (sicher), oft auch in Prozent angegeben.

Die Laplace-Formel

Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, spricht man von einem Laplace-Experiment. Dann gilt:

P(E) = Anzahl der günstigen Ergebnisse / Anzahl aller möglichen Ergebnisse

Sechs würfeln: P = 1/6 ≈ 16,7 %.
Gerade Zahl würfeln: P = 3/6 = 1/2 = 50 %.
Ein Ass aus 32 Skatkarten ziehen: P = 4/32 = 1/8 = 12,5 %.

Wie man Brüche kürzt und in Prozent umrechnet, erklärt der Artikel Bruchrechnung einfach erklärt.

Sechs Würfelseiten, die geraden Zahlen 2, 4 und 6 grün markiert: Die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl ist 3 von 6, also 50 Prozent. — Laplace: günstige Ergebnisse geteilt durch alle möglichen Ergebnisse.

Das Gegenereignis

Das Gegenereignis Ē („nicht E“) umfasst alle Ergebnisse, die nicht zu E gehören. Weil eines von beiden sicher eintritt, gilt:

P(Ē) = 1 − P(E)

Das spart oft viel Rechenarbeit, vor allem bei „mindestens einmal“-Fragen. Beispiel: Wie wahrscheinlich ist bei vier Würfen mindestens eine Sechs? Das Gegenereignis ist „keine Sechs in vier Würfen“ mit P = (5/6)⁴ ≈ 0,482. Also ist P(mindestens eine Sechs) = 1 − 0,482 ≈ 51,8 %.

Balken: Bei vier Würfen liegt die Wahrscheinlichkeit für keine Sechs bei 48,2 Prozent, für mindestens eine Sechs bei 51,8 Prozent. — Mindestens eine Sechs in vier Würfen: einfacher über das Gegenereignis.

Mehrstufige Experimente und Baumdiagramme

Besteht ein Experiment aus mehreren Schritten, etwa zweimal Ziehen aus einer Urne, hilft ein Baumdiagramm. Jede Verzweigung steht für eine Stufe, an den Ästen stehen die Wahrscheinlichkeiten. Es gelten zwei Pfadregeln:

Produktregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.
Summenregel: Gehören mehrere Pfade zu einem Ereignis, addiert man ihre Wahrscheinlichkeiten.

Beispiel: In einer Urne liegen 3 rote und 2 blaue Kugeln. Man zieht zweimal ohne Zurücklegen. P(zwei rote) = 3/5 · 2/4 = 6/20 = 0,3. P(genau eine rote) = 3/5 · 2/4 + 2/5 · 3/4 = 6/20 + 6/20 = 0,6. P(zwei blaue) = 2/5 · 1/4 = 0,1. Probe: 0,3 + 0,6 + 0,1 = 1.

Baumdiagramm für zweimaliges Ziehen ohne Zurücklegen aus einer Urne mit 3 roten und 2 blauen Kugeln, mit den Pfadwahrscheinlichkeiten 0,3, 0,3, 0,3 und 0,1. — Entlang eines Pfades multiplizieren, mehrere Pfade addieren.

Mit und ohne Zurücklegen

Legt man die gezogene Kugel zurück, bleiben die Wahrscheinlichkeiten auf jeder Stufe gleich, die Züge sind unabhängig. Ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten nach jedem Zug, weil eine Kugel fehlt. Für unabhängige Ereignisse gilt allgemein P(A und B) = P(A) · P(B). Zwei Köpfe beim zweifachen Münzwurf haben also P = 1/2 · 1/2 = 1/4.

Abzählen: Kombinatorik in Kürze

Reihenfolgen (Permutationen): n verschiedene Dinge lassen sich auf n! = n · (n − 1) · … · 1 Arten anordnen. 5 Bücher im Regal: 5! = 120 Möglichkeiten.
Mit Wiederholung: Eine vierstellige PIN aus den Ziffern 0 bis 9 hat 10⁴ = 10.000 Möglichkeiten. Wer zufällig rät, trifft mit P = 1/10.000.
Auswahl ohne Reihenfolge: k aus n auszuwählen geht auf „n über k“ Arten. Im Lotto 6 aus 49 sind das 13.983.816 Kombinationen. Sechs Richtige haben also eine Wahrscheinlichkeit von etwa 1 zu 14 Millionen.

Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit

Würfelt man nur zehnmal, kann die Sechs auch viermal oder gar nicht fallen. Erst bei vielen Wiederholungen nähert sich die relative Häufigkeit der Wahrscheinlichkeit an (Gesetz der großen Zahlen). Daraus folgt auch: Der Würfel hat kein Gedächtnis. Nach fünf Würfen ohne Sechs ist die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs im nächsten Wurf immer noch 1/6. Der Irrglaube, sie sei jetzt „fällig“, heißt Spielerfehlschluss.

Typische Fehler

Wahrscheinlichkeiten addiert statt multipliziert: Zwei Sechsen hintereinander haben P = 1/36, nicht 2/6.
„Mindestens einmal“ direkt berechnet: Mit dem Gegenereignis geht es fast immer schneller.
Ohne Zurücklegen vergessen: Beim zweiten Zug sind Zähler und Nenner anzupassen.

Übungsaufgaben mit Lösungen

Aufgabe 1 (leicht): Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel eine Zahl größer als 4 zu werfen?

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Günstig sind 5 und 6, also 2 von 6 Ergebnissen: P = 2/6 = 1/3 ≈ 33,3 %.

Aufgabe 2 (mittel): Eine Münze wird dreimal geworfen. Wie wahrscheinlich ist mindestens einmal Kopf?

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Gegenereignis „dreimal Zahl“: P = (1/2)³ = 1/8. Also P(mindestens einmal Kopf) = 1 − 1/8 = 7/8 = 87,5 %.

Aufgabe 3 (Anwendung): 5 % der Bauteile einer Lieferung sind defekt. Es werden zufällig zwei Bauteile geprüft (die Lieferung ist so groß, dass die Ziehungen als unabhängig gelten). Wie wahrscheinlich ist genau ein defektes Bauteil?

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Zwei Pfade: defekt–in Ordnung und in Ordnung–defekt. P = 0,05 · 0,95 + 0,95 · 0,05 = 0,0475 + 0,0475 = 0,095 = 9,5 %.

Fazit

Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen ist die Wahrscheinlichkeit „günstige durch mögliche“. Für „mindestens einmal“ rechnet man mit dem Gegenereignis 1 − P, bei mehrstufigen Experimenten mit dem Baumdiagramm: entlang eines Pfades multiplizieren, mehrere Pfade addieren. Ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten von Stufe zu Stufe. Weitere Themen finden Sie in der Übersicht Mathematik einfach erklärt.