Viele Aufgaben haben nicht eine, sondern zwei Unbekannte: Wie viele Erwachsenen- und Kinderkarten wurden verkauft? Welcher Tarif ist ab wann günstiger? Wo schneiden sich zwei Geraden? Solche Fragen führen auf ein lineares Gleichungssystem (LGS). Mit drei Standardverfahren lässt es sich zuverlässig lösen.

Dieser Artikel erklärt, was ein lineares Gleichungssystem ist, zeigt das Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren mit Beispielen, erklärt die grafische Deutung und wann ein System keine oder unendlich viele Lösungen hat.

Was ist ein lineares Gleichungssystem?

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten, die gleichzeitig erfüllt sein sollen. Am häufigsten sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten:

I: x + y = 10
II: 2x − y = 5

Gesucht ist das Zahlenpaar (x | y), das beide Gleichungen erfüllt. Hier ist das x = 5 und y = 5.

Wie man eine einzelne Gleichung löst, erklärt der Artikel Lineare Gleichungen lösen.

Das Einsetzungsverfahren

1. Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen: aus I folgt y = 10 − x.
2. Diesen Term in die andere Gleichung einsetzen: 2x − (10 − x) = 5.
3. Lösen: 3x − 10 = 5 ⇒ 3x = 15 ⇒ x = 5.
4. Einsetzen: y = 10 − 5 = 5.

Geeignet, wenn eine Gleichung schon fast nach einer Variablen aufgelöst ist.

Das Gleichsetzungsverfahren

1. Beide Gleichungen nach derselben Variablen auflösen: y = 10 − x und y = 2x − 5.
2. Gleichsetzen: 10 − x = 2x − 5.
3. Lösen: 15 = 3x ⇒ x = 5, dann y = 5.

Geeignet, wenn beide Gleichungen in der Form y = … gegeben sind, etwa bei zwei linearen Funktionen.

Das Additionsverfahren

Man addiert (oder subtrahiert) die Gleichungen so, dass eine Variable wegfällt:

I + II: (x + y) + (2x − y) = 10 + 5 ⇒ 3x = 15 ⇒ x = 5. Einsetzen in I: y = 5.

Oft muss man vorher eine Gleichung mit einem Faktor multiplizieren. Beispiel: I: 2x + 3y = 13, II: 4x − y = 5. II · 3: 12x − 3y = 15. Addieren mit I: 14x = 28 ⇒ x = 2, dann aus II: y = 4 · 2 − 5 = 3.

Das Additionsverfahren ist bei größeren Systemen die Grundlage des Gauß-Verfahrens.

Grafische Deutung

Jede lineare Gleichung mit zwei Variablen beschreibt eine Gerade. Die Lösung des Systems ist der Schnittpunkt der beiden Geraden. Daraus folgen drei Fälle:

• Genau eine Lösung: Die Geraden schneiden sich in einem Punkt.
• Keine Lösung: Die Geraden sind parallel (gleiche Steigung, verschiedener y-Achsenabschnitt). Beim Rechnen entsteht ein Widerspruch wie 0 = 5.
• Unendlich viele Lösungen: Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade. Beim Rechnen entsteht eine wahre Aussage wie 0 = 0.

Textaufgaben mit zwei Unbekannten

Beispiel: Für ein Konzert werden 300 Karten verkauft, Erwachsene zahlen 25 €, Kinder 10 €. Die Einnahmen betragen 6.000 €. Wie viele Karten jeder Art wurden verkauft?

• x = Erwachsenenkarten, y = Kinderkarten
• I: x + y = 300
• II: 25x + 10y = 6000
• Aus I: y = 300 − x. In II: 25x + 3000 − 10x = 6000 ⇒ 15x = 3000 ⇒ x = 200, y = 100.

Es wurden 200 Erwachsenen- und 100 Kinderkarten verkauft.

Welches Verfahren wann?

• Eine Variable steht schon allein oder hat den Faktor 1: Einsetzungsverfahren.
• Beide Gleichungen in der Form y = …: Gleichsetzungsverfahren.
• Gleiche oder entgegengesetzte Koeffizienten, oder drei und mehr Gleichungen: Additionsverfahren.

Alle Verfahren liefern dasselbe Ergebnis. Machen Sie zum Schluss die Probe in beiden Gleichungen.

Übungsaufgaben mit Lösungen

Fazit

Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten lösen Sie mit dem Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren. Ziel ist immer, eine Variable zu eliminieren, die andere zu berechnen und das Ergebnis einzusetzen. Grafisch ist die Lösung der Schnittpunkt zweier Geraden; parallele Geraden bedeuten keine, identische Geraden unendlich viele Lösungen. Weitere Themen finden Sie in der Übersicht Mathematik einfach erklärt.

Quellen und weiterführende Links

• Lineares Gleichungssystem (Wikipedia)
• Lineare Gleichungssysteme (Mathebibel)