Die Flugbahn eines Balls, der Querschnitt einer Satellitenschüssel, der Bremsweg eines Autos: Viele Vorgänge folgen einer Parabel. Mathematisch steckt dahinter die quadratische Funktion. Wer ihre drei Darstellungsformen kennt, kann den Graphen schnell skizzieren, den Scheitelpunkt bestimmen und Nullstellen berechnen.
Dieser Artikel erklärt Normal-, Scheitelpunkt- und faktorisierte Form, zeigt, wie die Parameter die Parabel verändern, wie Sie den Scheitelpunkt mit der quadratischen Ergänzung finden und wo Parabeln in Physik und Technik vorkommen.
Direkt ausrechnen: p-q-Formel-Rechner: quadratische Gleichungen mit Rechenweg
Die Normalparabel
Die einfachste quadratische Funktion ist f(x) = x². Ihr Graph heißt Normalparabel: Er ist nach oben geöffnet, symmetrisch zur y-Achse und hat seinen tiefsten Punkt, den Scheitelpunkt, im Ursprung S(0 | 0). Wertetabelle: f(−2) = 4, f(−1) = 1, f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 4.
Die Normalform f(x) = ax² + bx + c
- a bestimmt Öffnung und Form: a > 0 nach oben, a < 0 nach unten geöffnet; |a| > 1 macht die Parabel schmaler (gestreckt), |a| < 1 breiter (gestaucht).
- c ist der y-Achsenabschnitt: f(0) = c.
- b verschiebt zusammen mit a die Lage des Scheitelpunkts zur Seite.
Die Scheitelpunktform f(x) = a(x − d)² + e
In dieser Form lesen Sie den Scheitelpunkt direkt ab: S(d | e). Die Parabel ist um d nach rechts und um e nach oben verschoben.
Beispiel: f(x) = 2(x − 3)² − 8 hat den Scheitelpunkt S(3 | −8), ist nach oben geöffnet und doppelt so steil wie die Normalparabel.
Achtung beim Vorzeichen: f(x) = (x + 2)² = (x − (−2))² hat den Scheitelpunkt bei x = −2.
Von der Normalform zur Scheitelpunktform
Mit der quadratischen Ergänzung bringen Sie die Normalform in die Scheitelpunktform. Beispiel f(x) = x² − 6x + 5:
- Halbe Zahl vor x quadrieren: (−6 : 2)² = 9.
- Ergänzen und gleich wieder abziehen: x² − 6x + 9 − 9 + 5.
- Binomische Formel anwenden: (x − 3)² − 4.
- Scheitelpunkt: S(3 | −4).
Ohne Ergänzen geht es auch mit der Formel xS = −b / (2a) und yS = f(xS). Die Herleitung beruht auf den binomischen Formeln.
Nullstellen und faktorisierte Form
Die Nullstellen sind die Schnittpunkte mit der x-Achse, also die Lösungen von ax² + bx + c = 0. Sie berechnen sie mit der p-q-Formel oder der Mitternachtsformel; siehe Quadratische Gleichungen.
Für f(x) = x² − 6x + 5 ergeben sich x₁ = 1 und x₂ = 5. Damit lautet die faktorisierte Form (Nullstellenform) f(x) = (x − 1)(x − 5). Der Scheitelpunkt liegt immer genau in der Mitte zwischen den Nullstellen: xS = (1 + 5) : 2 = 3.
Eine Parabel kann zwei, eine (Scheitelpunkt auf der x-Achse) oder keine Nullstelle haben.
Den Graphen skizzieren
- Scheitelpunkt bestimmen und einzeichnen.
- Öffnung ablesen (Vorzeichen von a).
- Von S aus mit a multiplizierte Normalparabel-Schritte abtragen: 1 nach rechts, a nach oben; 2 nach rechts, 4a nach oben.
- Symmetrisch spiegeln, y-Achsenabschnitt c zur Kontrolle prüfen.
Parabeln in Physik und Technik
- Wurfbahn: Ohne Luftwiderstand fliegt ein geworfener Ball auf einer nach unten geöffneten Parabel.
- Bremsweg: wächst quadratisch mit der Geschwindigkeit, siehe gleichmäßig beschleunigte Bewegung.
- Parabolspiegel: bündeln Licht oder Funkwellen in einem Brennpunkt, etwa bei Satellitenschüsseln und Scheinwerfern.
- Optimierung: Der Scheitelpunkt liefert Maximum oder Minimum, etwa die größte Fläche bei gegebenem Zaun.
Übungsaufgaben mit Lösungen
Aufgabe 1 (leicht): Geben Sie den Scheitelpunkt und die Öffnung von f(x) = −(x + 1)² + 4 an.
Lösung anzeigen
Scheitelpunkt S(−1 | 4), wegen a = −1 nach unten geöffnet; 4 ist also der größte Funktionswert.
Aufgabe 2 (mittel): Bringen Sie f(x) = x² + 4x − 1 in die Scheitelpunktform.
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(4 : 2)² = 4: x² + 4x + 4 − 4 − 1 = (x + 2)² − 5. Scheitelpunkt S(−2 | −5).
Aufgabe 3 (Anwendung): Mit 40 m Zaun soll eine rechteckige Fläche eingezäunt werden. Welche Seitenlängen ergeben die größte Fläche?
Lösung anzeigen
Seiten x und 20 − x, Fläche A(x) = x(20 − x) = −x² + 20x. Scheitelpunkt bei x = −20 / (2 · (−1)) = 10. Die größte Fläche hat ein Quadrat mit 10 m Seitenlänge: 100 m².
Fazit
Eine quadratische Funktion hat eine Parabel als Graphen. In der Normalform ax² + bx + c zeigt a die Öffnung und c den y-Achsenabschnitt, in der Scheitelpunktform a(x − d)² + e lesen Sie den Scheitelpunkt S(d | e) direkt ab, in der faktorisierten Form die Nullstellen. Mit der quadratischen Ergänzung wechseln Sie zwischen den Formen. Weitere Themen finden Sie in der Übersicht Mathematik einfach erklärt.
Quellen und weiterführende Links
- Quadratische Funktion (Wikipedia)
- Quadratische Funktionen (Mathebibel)
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