Lineare Gleichungen sind der Einstieg in die Algebra und begegnen Ihnen überall: beim Berechnen eines Preises vor Rabatt, beim Aufteilen einer Rechnung, beim Umstellen einer Physikformel. Wer das Prinzip einmal verstanden hat, löst jede dieser Gleichungen mit denselben wenigen Schritten.

Dieser Artikel erklärt, was eine lineare Gleichung ist, wie Äquivalenzumformungen funktionieren, wie Sie Gleichungen mit Klammern und Brüchen lösen, Textaufgaben in Gleichungen übersetzen und Ihr Ergebnis prüfen.

Was ist eine lineare Gleichung?

Eine lineare Gleichung enthält eine Unbekannte, meist x, die nur in der ersten Potenz vorkommt: kein x², kein √x und kein x im Nenner. Beispiele: 3x + 5 = 20, 2(x − 4) = x + 1 oder x/3 + 2 = 6. Eine lineare Gleichung hat in der Regel genau eine Lösung. Ausnahmen: keine Lösung (zum Beispiel x + 1 = x + 2) oder unendlich viele (x + 1 = x + 1).

Das Prinzip: die Waage

Stellen Sie sich eine Gleichung als Balkenwaage vor. Links und rechts liegt gleich viel. Solange Sie auf beiden Seiten dasselbe tun, bleibt die Waage im Gleichgewicht. Diese erlaubten Schritte heißen Äquivalenzumformungen:

• auf beiden Seiten dieselbe Zahl oder denselben Term addieren oder subtrahieren,
• beide Seiten mit derselben Zahl (außer 0) multiplizieren oder durch sie dividieren.

Ziel ist immer, x allein auf eine Seite zu bringen.

Schritt für Schritt lösen

Beispiel: 3x + 5 = 20

1. Auf beiden Seiten 5 subtrahieren: 3x = 15
2. Beide Seiten durch 3 teilen: x = 5
3. Probe: 3 · 5 + 5 = 20 ✓

Steht x auf beiden Seiten, sammeln Sie zuerst alle x-Terme auf einer Seite: 5x − 3 = 2x + 9 | − 2x ⇒ 3x − 3 = 9 | + 3 ⇒ 3x = 12 | : 3 ⇒ x = 4.

Gleichungen mit Klammern

Lösen Sie zuerst die Klammern auf, dann fassen Sie zusammen:

2(x − 4) = x + 1 ⇒ 2x − 8 = x + 1 | − x ⇒ x − 8 = 1 | + 8 ⇒ x = 9.

Achtung beim Minus vor der Klammer: −(x − 3) = −x + 3. Alle Vorzeichen in der Klammer drehen sich um. Für Klammern mit Quadraten helfen die binomischen Formeln.

Gleichungen mit Brüchen

Multiplizieren Sie die ganze Gleichung mit dem Hauptnenner, dann verschwinden die Brüche:

x/3 + x/4 = 7 | · 12 ⇒ 4x + 3x = 84 ⇒ 7x = 84 ⇒ x = 12.

Wie man den Hauptnenner findet, erklärt der Artikel Bruchrechnung einfach erklärt.

Textaufgaben in Gleichungen übersetzen

1. Unbekannte festlegen: „x sei der Preis vor dem Rabatt.“
2. Informationen in Terme übersetzen: 20 % Rabatt bedeutet, man zahlt 0,8 · x.
3. Gleichung aufstellen: 0,8x = 64.
4. Lösen: x = 64 : 0,8 = 80. Der Preis vor dem Rabatt war 80 €.
5. Antwortsatz schreiben und prüfen, ob das Ergebnis sinnvoll ist.

Viele Prozent- und Dreisatzaufgaben lassen sich auf diese Weise lösen; siehe Prozentrechnung.

Formeln umstellen

Dieselben Regeln gelten für Formeln aus Physik und Technik. Aus U = R · I wird durch Teilen durch R die Formel I = U / R; siehe ohmsches Gesetz. Aus v = s / t wird durch Multiplizieren mit t die Formel s = v · t.

Typische Fehler

• Nur eine Seite umgeformt: Jede Umformung gilt immer für beide Seiten.
• Vorzeichenfehler beim Seitenwechsel: „+5 rüberbringen“ heißt, auf beiden Seiten 5 abziehen.
• Nicht alle Glieder multipliziert: Beim Wegmultiplizieren eines Nenners muss jedes Glied der Gleichung mit dem Faktor multipliziert werden.
• Durch 0 geteilt: Teilen durch einen Term, der 0 sein kann, ist nicht erlaubt.
• Keine Probe gemacht: Einsetzen in die Ausgangsgleichung deckt fast jeden Fehler auf.

Übungsaufgaben mit Lösungen

Fazit

Eine lineare Gleichung lösen Sie, indem Sie auf beiden Seiten dieselben Umformungen ausführen, bis x allein steht: Klammern auflösen, Brüche mit dem Hauptnenner beseitigen, x-Terme auf einer Seite sammeln und zum Schluss durch den Faktor vor x teilen. Die Probe durch Einsetzen sichert das Ergebnis ab. Wie man zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten löst, zeigt der Artikel Lineare Gleichungssysteme lösen. Weitere Themen finden Sie in der Übersicht Mathematik einfach erklärt.

Quellen und weiterführende Links

• Lineare Gleichung (Wikipedia)
• Lineare Gleichungen (Mathebibel)