Ein Sparguthaben mit Zinseszins, eine Bakterienkultur, die sich jede Stunde verdoppelt, ein radioaktives Präparat, das zerfällt, eine sich abkühlende Tasse Kaffee: Alle diese Vorgänge beschreibt die Exponentialfunktion. Ihr Kennzeichen ist, dass sich die Größe in gleichen Zeitschritten nicht um denselben Betrag, sondern um denselben Faktor ändert.

Dieser Artikel erklärt die Funktionsgleichung f(x) = a · bˣ, den Unterschied zwischen Wachstum und Zerfall, Verdopplungszeit und Halbwertszeit, die besondere Rolle der Eulerschen Zahl e und typische Anwendungen.

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Die Funktionsgleichung

Eine Exponentialfunktion hat die Form f(x) = a · bˣ mit a ≠ 0 und b > 0, b ≠ 1.

• a ist der Anfangswert: f(0) = a, weil b⁰ = 1.
• b ist der Wachstumsfaktor: Bei jedem Schritt um 1 wird der Wert mit b multipliziert.
• x steht im Exponenten, das unterscheidet die Exponentialfunktion von Potenzfunktionen wie x².

Die Rechenregeln für Potenzen erklärt der Artikel Die Potenzgesetze.

Wachstum und Zerfall

• b > 1: exponentielles Wachstum. Ein Guthaben von 1.000 € mit 3 % Zinsen pro Jahr: f(x) = 1000 · 1,03ˣ. Nach 10 Jahren sind es 1000 · 1,03¹⁰ ≈ 1.343,92 €.
• 0 < b < 1: exponentielle Abnahme. Ein Auto verliert jedes Jahr 15 % an Wert: f(x) = 20000 · 0,85ˣ.

Prozentuale Änderung und Faktor hängen so zusammen: Wachstum um p % bedeutet b = 1 + p/100, Abnahme um p % bedeutet b = 1 − p/100. Mehr dazu im Artikel Prozentrechnung.

Linear oder exponentiell?

• Linear: In gleichen Schritten kommt immer derselbe Betrag dazu (+100 € pro Jahr).
• Exponentiell: In gleichen Schritten wird mit demselben Faktor multipliziert (× 1,05 pro Jahr).

Anfangs wirken beide ähnlich, doch exponentielles Wachstum überholt jedes lineare Wachstum irgendwann. Das unterschätzen Menschen intuitiv, etwa bei Zinseszins oder der Ausbreitung von Infektionen.

Der Graph

• Er schneidet die y-Achse im Punkt (0 | a).
• Er hat keine Nullstelle: bˣ ist immer positiv.
• Die x-Achse ist eine Asymptote: Bei Wachstum nähert sich der Graph links, bei Zerfall rechts immer mehr der x-Achse, ohne sie zu erreichen.
• Er steigt (b > 1) oder fällt (b < 1) überall, und zwar immer stärker beziehungsweise immer flacher.

Verdopplungszeit und Halbwertszeit

Die Verdopplungszeit T_D ist die Zeit, nach der sich der Wert verdoppelt hat; die Halbwertszeit T_H die Zeit, nach der er sich halbiert hat. Beide sind konstant, egal wo man startet.

Man berechnet sie mit dem Logarithmus: aus bᵀ = 2 folgt T_D = ln 2 / ln b. Für 3 % Zinsen: ln 2 / ln 1,03 ≈ 23,4 Jahre. Als Faustregel gilt die 70er-Regel: Verdopplungszeit ≈ 70 / p, hier 70 / 3 ≈ 23 Jahre. Wie Logarithmen funktionieren, erklärt der Artikel Logarithmus einfach erklärt.

Beispiel Zerfall: Das Isotop Iod-131 hat eine Halbwertszeit von etwa 8 Tagen. Nach 24 Tagen ist noch (1/2)³ = 1/8 der Anfangsmenge vorhanden.

Die e-Funktion

In Naturwissenschaft und Technik verwendet man meist die Basis e ≈ 2,71828, die Eulersche Zahl: f(x) = a · e^kx. Sie hat eine besondere Eigenschaft: (eˣ)‘ = eˣ, die Funktion ist ihre eigene Ableitung; siehe Ableitung einfach erklärt. Ist k > 0, liegt Wachstum vor, ist k < 0, Zerfall. Jede Exponentialfunktion lässt sich so schreiben, denn bˣ = e^{x · ln b}.

Anwendungen

• Finanzen: Zinseszins, Inflation, Kredite.
• Biologie: Bakterien- und Zellwachstum unter idealen Bedingungen.
• Physik: radioaktiver Zerfall, Entladen eines Kondensators (siehe Wie funktioniert ein Kondensator?), Abkühlung.
• Technik: Dämpfung von Signalen, Lade- und Entladekurven.

Übungsaufgaben mit Lösungen

Fazit

Die Exponentialfunktion f(x) = a · bˣ beschreibt Vorgänge, bei denen sich eine Größe in gleichen Schritten um denselben Faktor ändert: Wachstum für b > 1, Zerfall für 0 < b < 1. Der Graph hat keine Nullstelle und nähert sich der x-Achse an. Verdopplungs- und Halbwertszeit bleiben konstant und lassen sich mit dem Logarithmus berechnen. In der Technik ist die e-Funktion die wichtigste Form. Weitere Themen finden Sie in der Übersicht Mathematik einfach erklärt.

Quellen und weiterführende Links

• Exponentialfunktion (Wikipedia)
• Exponentialfunktionen (Mathebibel)