Wie oft muss man 2 mit sich selbst multiplizieren, um 1.024 zu erhalten? Wie lange dauert es, bis sich ein Guthaben mit 4 % Zinsen verdoppelt? Solche Fragen beantwortet der Logarithmus. Er ist die Umkehrung des Potenzierens und steckt in der Dezibel-Skala, im pH-Wert, in der Richterskala und in der Informatik.

Dieser Artikel erklärt, was ein Logarithmus ist, die wichtigsten Logarithmusgesetze, wie Sie Exponentialgleichungen lösen und Logarithmen zu beliebigen Basen mit dem Taschenrechner berechnen.

Was ist ein Logarithmus?

Der Logarithmus beantwortet die Frage: Mit welcher Zahl muss ich die Basis potenzieren, um eine bestimmte Zahl zu erhalten?

log_b(x) = y ⇔ bʸ = x

• log₂(8) = 3, weil 2³ = 8.
• log₁₀(1000) = 3, weil 10³ = 1000.
• log₃(1/9) = −2, weil 3⁻² = 1/9.
• log_b(1) = 0 für jede Basis, weil b⁰ = 1.

Logarithmen gibt es nur von positiven Zahlen, und die Basis muss positiv und ungleich 1 sein.

Besondere Logarithmen

• Zehnerlogarithmus lg(x) = log₁₀(x): Taste „log“ auf dem Taschenrechner, wichtig für Größenordnungen.
• Natürlicher Logarithmus ln(x) = log_e(x): zur Basis e ≈ 2,718, Taste „ln“, wichtig in Naturwissenschaften und für die Exponentialfunktion.
• Zweierlogarithmus log₂(x): in der Informatik, etwa: Mit n Bit lassen sich 2ⁿ Zustände darstellen.

Die Logarithmusgesetze

Sie folgen direkt aus den Potenzgesetzen:

• Produkt: log(a · b) = log(a) + log(b)
• Quotient: log(a / b) = log(a) − log(b)
• Potenz: log(aⁿ) = n · log(a)
• Wurzel: log(ⁿ√a) = (1/n) · log(a)

Beispiel: lg(200) = lg(2 · 100) = lg 2 + lg 100 ≈ 0,301 + 2 = 2,301.

Achtung: log(a + b) lässt sich nicht vereinfachen, und log(a) · log(b) ist nicht log(a · b).

Basiswechsel: jeder Logarithmus mit dem Taschenrechner

Viele Taschenrechner haben nur „log“ und „ln“. Für andere Basen gilt:

log_b(x) = ln(x) / ln(b) = lg(x) / lg(b)

Beispiel: log₂(100) = ln 100 / ln 2 ≈ 4,605 / 0,693 ≈ 6,64.

Exponentialgleichungen lösen

Steht die Unbekannte im Exponenten, logarithmieren Sie beide Seiten:

1. Gleichung so umformen, dass die Potenz allein steht: 5 · 2ˣ = 80 ⇒ 2ˣ = 16.
2. Beide Seiten logarithmieren: x · ln 2 = ln 16.
3. Auflösen: x = ln 16 / ln 2 = 4.

Zinsbeispiel: Wann verdoppeln sich 1.000 € bei 4 % Zinsen? 1,04ˣ = 2 ⇒ x = ln 2 / ln 1,04 ≈ 17,7 Jahre.

Logarithmische Skalen im Alltag

Wenn Werte über viele Größenordnungen reichen, verwendet man logarithmische Skalen. Ein Schritt um 1 bedeutet dann eine Vervielfachung:

• Schalldruckpegel in Dezibel: +10 dB entsprechen der zehnfachen Schallintensität, +3 dB etwa der doppelten.
• pH-Wert: pH = −lg der Wasserstoffionenkonzentration; pH 3 ist zehnmal saurer als pH 4.
• Erdbebenmagnitude: Eine Stufe mehr bedeutet etwa die 32-fache freigesetzte Energie.
• Informatik: Die binäre Suche in einer sortierten Liste mit einer Million Einträgen braucht höchstens etwa log₂(1.000.000) ≈ 20 Schritte.

Typische Fehler

• log(a + b) = log a + log b, falsch: Die Gesetze gelten für Produkte, nicht für Summen.
• Logarithmus einer negativen Zahl oder von 0 berechnen wollen.
• „log“ und „ln“ auf dem Taschenrechner verwechseln.
• Beim Lösen vergessen, zuerst die Potenz zu isolieren.

Übungsaufgaben mit Lösungen

Fazit

Der Logarithmus ist die Umkehrung des Potenzierens: log_b(x) ist der Exponent, mit dem man b potenzieren muss, um x zu erhalten. Mit den Logarithmusgesetzen werden Produkte zu Summen und Potenzen zu Faktoren, mit dem Basiswechsel berechnen Sie jeden Logarithmus über ln oder lg. Damit lösen Sie Exponentialgleichungen, etwa für Verdopplungszeiten. Weitere Themen finden Sie in der Übersicht Mathematik einfach erklärt.

Quellen und weiterführende Links

• Logarithmus (Wikipedia)
• Logarithmus (Mathebibel)