Dichte berechnen: ρ = m/V mit Tabelle und Beispielen

Warum schwimmt ein tonnenschweres Stahlschiff, während ein kleiner Stahlnagel sofort untergeht? Warum steigt ein Heißluftballon? Warum ist ein Kilogramm Federn so viel größer als ein Kilogramm Blei? Die Antwort steckt in einer einzigen Größe: der Dichte, also der Masse pro Volumen.

Dieser Artikel erklärt die Formel ρ = m / V, die Einheiten, typische Dichten von Stoffen, wie Sie Dichte messen und wann ein Körper schwimmt, schwebt oder sinkt.

Die Formel

ρ = m / V

ρ (griechisch „rho“): Dichte
m: Masse in kg oder g
V: Volumen in m³ oder cm³

Umgestellt: m = ρ · V und V = m / ρ. Wie man Volumen von Körpern berechnet, zeigt der Artikel Volumen berechnen.

Einheiten

SI-Einheit: kg/m³
Häufig: g/cm³ (für Feststoffe und Flüssigkeiten), g/l oder kg/m³ für Gase
Umrechnung: 1 g/cm³ = 1.000 kg/m³ = 1 kg/l

Typische Dichten

Luft (20 °C, Meereshöhe): etwa 1,2 kg/m³
Holz (Fichte, trocken): etwa 0,45 g/cm³
Eis: 0,92 g/cm³
Wasser: 1,00 g/cm³ (bei 4 °C am dichtesten)
Meerwasser: etwa 1,025 g/cm³
Beton: etwa 2,4 g/cm³
Aluminium: 2,7 g/cm³
Eisen und Stahl: etwa 7,9 g/cm³
Kupfer: 8,96 g/cm³
Blei: 11,3 g/cm³
Gold: 19,3 g/cm³

Die Dichte hängt etwas von Temperatur und Druck ab, bei Gasen sehr stark. Warme Luft hat eine geringere Dichte als kalte, deshalb steigt sie auf.

Balkendiagramm der Masse von 1 Kubikzentimeter: Holz 0,45 Gramm, Eis 0,92, Wasser 1,0, Aluminium 2,7, Eisen 7,9, Blei 11,3 und Gold 19,3 Gramm. — So viel wiegt ein Kubikzentimeter verschiedener Stoffe.

Dichte messen

Masse bestimmen mit einer Waage.
Volumen bestimmen: bei regelmäßigen Körpern berechnen, bei unregelmäßigen mit der Überlaufmethode: Den Körper in ein Messgefäß mit Wasser tauchen; die Volumenzunahme ist sein Volumen.
Teilen: ρ = m / V.

Beispiel: Ein Ring wiegt 7,7 g und verdrängt 0,4 cm³ Wasser. ρ = 7,7 / 0,4 = 19,25 g/cm³, das passt zu Gold. Nach diesem Prinzip soll schon Archimedes eine Krone geprüft haben.

Vier Schritte: Ring wiegen (7,7 Gramm), in Wasser tauchen, verdrängtes Volumen ablesen (0,4 Kubikzentimeter), teilen ergibt 19,25 Gramm pro Kubikzentimeter, also Gold. — Dichte bestimmen: wiegen, eintauchen, Volumen ablesen, teilen.

Schwimmen, schweben, sinken

Ein Körper in einer Flüssigkeit erfährt einen Auftrieb, der so groß ist wie die Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit (Prinzip des Archimedes). Vergleicht man die mittlere Dichte des Körpers mit der der Flüssigkeit:

Körper dichter als die Flüssigkeit: er sinkt (Stahlnagel in Wasser).
Gleiche Dichte: er schwebt (U-Boot mit passend gefüllten Tauchtanks, Fische mit Schwimmblase).
Weniger dicht: er schwimmt und taucht nur so weit ein, bis er sein eigenes Gewicht an Flüssigkeit verdrängt (Holz, Eis).

Ein Stahlschiff schwimmt, weil es hohl ist: Seine mittlere Dichte aus Stahl und Luft im Rumpf ist kleiner als die von Wasser. Eisberge schwimmen mit etwa 90 % ihres Volumens unter Wasser, weil Eis nur rund 10 % weniger dicht ist als Meerwasser.

Wasserbecken mit drei Körpern: Holz schwimmt an der Oberfläche, ein Körper mit der Dichte von Wasser schwebt, Eisen liegt am Boden. — Schwimmen, schweben oder sinken hängt vom Dichtevergleich ab.

Dichte in der Technik

Leichtbau: Aluminium und Carbon statt Stahl bei Flugzeugen, Autos und Fahrrädern.
Heißluftballon und Wetterballon: steigen, weil das Gas im Inneren weniger dicht ist als die Umgebungsluft.
Akku-Säure und Kühlmittel: Ihr Zustand wird über die Dichte geprüft.
Werkstoffprüfung: Lufteinschlüsse in Gussteilen senken die gemessene Dichte.
Druck in Flüssigkeiten: hängt von der Dichte ab, siehe Druck berechnen.

Übungsaufgaben mit Lösungen

Aufgabe 1 (leicht): Ein Würfel aus Aluminium hat 3 cm Kantenlänge. Welche Masse hat er?

Lösung anzeigen

V = 27 cm³, m = 2,7 · 27 = 72,9 g.

Aufgabe 2 (mittel): Ein Stein wiegt 540 g. Im Messzylinder steigt das Wasser von 300 ml auf 500 ml. Wie groß ist seine Dichte, und schwimmt er?

Lösung anzeigen

V = 200 cm³, ρ = 540 / 200 = 2,7 g/cm³. Er ist dichter als Wasser und sinkt.

Aufgabe 3 (Anwendung): Wie viel wiegt die Luft in einem Zimmer von 5 m × 4 m × 2,5 m?

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V = 50 m³, m = 1,2 · 50 = 60 kg, so viel wie ein erwachsener Mensch.

Fazit

Die Dichte ist Masse pro Volumen, ρ = m / V, gemessen in kg/m³ oder g/cm³. Sie ist eine Stoffeigenschaft, mit der man Materialien erkennen und Massen aus Volumen berechnen kann. Ob ein Körper schwimmt, schwebt oder sinkt, entscheidet seine mittlere Dichte im Vergleich zur Flüssigkeit, weshalb auch hohle Stahlschiffe schwimmen. Weitere Grundlagen finden Sie in der Übersicht Physik einfach erklärt.